1701059850
1701059851
1701059852
1701059853
图23
1701059854
1701059855
至此，开普勒的工作会受到与亚里士多德攻击毕达哥拉斯时同样的批评：“他们并不是为现象寻找理由和原因，而是强行使现象符合他们的意见和预想，试图重建宇宙。”然而，明察的开普勒太尊重事实了，不会坚持与观测数据不符而且不能给出准确预言的理论。
1701059856
1701059857
只是在开普勒获得了布拉赫的观测资料，并且自己也做了更多的观测后，他确信必须抛弃他的先驱托勒密和哥白尼以及他自己构想的天文学模式。他寻找符合这些新观测数据的规律，三个著名的成果是其最高成就。前两个在开普勒于1609年出版的《论火星的运动》（On the Motion of the Planet Mars）中公布于世。
1701059858
1701059859
第一个定律与一切传统决裂，在天文学中引入了椭圆。这种曲线大约两千年以前已由希腊人透彻地研究过，因而其数学性质是已知的。圆定义为与某一固定点距离（半径）相等的所有点的集合，而椭圆可定义为与两个固定点的距离之和相等的所有点的集合。这样如果F1和F2是固定的点（见图24），P是椭圆上的点，无论P在椭圆上的何处，和PF1＋PF2保持不变。固定点F1和F2叫作焦点。开普勒第一定律是，每一个行星都沿着椭圆运动，太阳是其焦点之一。另一个焦点只是一数学点，上面没有物理的存在。当然，每个行星都沿着自己的椭圆运动，太阳所在的焦点对于所有的行星都是一样的。1500年来人们试图用圆的组合来描述每个行星的运动，其结果是用一个简单的椭圆来代替每一个组合。
1701059860
1701059861
1701059862
1701059863
1701059864
图24
1701059865
1701059866
开普勒第一定律告诉我们行星遵循的路径，但没有告诉我们行星沿着这路径运动多快。如果我们在某一时刻观察到一行星的位置，还是不能知道何时它将在那条路径的另一点上。人们也许会预想每个行星在其路径上以匀速运动，但是观测数据这最终的权威使开普勒相信事实不是这样。开普勒的第二个发现是，连接太阳和行星的线扫过的面积是恒定的。也就是说，如果行星在一个月中从P运动到Q（见图25），在同样的时间内从P′运动到Q′，那么面积F1PQ和F1P′Q′是相等的。发现有一种简单的方式来叙说行星速度的数学定律，开普勒欣喜若狂。很显然上帝喜欢恒定面积胜过恒定速度。
1701059867
1701059868
1701059869
1701059870
1701059871
图25
1701059872
1701059873
还有一个重要问题没有解决。什么规律描写行星到太阳的距离？使此问题更复杂的是，行星到太阳的距离并不恒定。开普勒探求一条能将此问题考虑在内的新原理。他相信大自然不仅是根据数学设计的，而且是和谐地设计的。他相信有一种天体的音乐产生和谐的音响效果，虽不是产生实际的声音，不过将行星运动的事实翻译成音符后还是能辨认出的。顺着这条线索，经过数学论证和音乐论证的令人惊异的结合，他得到了一条规律，就是，如果T是任一行星的公转周期，D是它到太阳的平均距离，那么
1701059874
1701059875
1701059876
1701059877
1701059878
k是对所有的行星都一样的常数（D的正确值是每个椭圆路径的半长轴）。这就是开普勒关于行星运动的第三定律，是开普勒在其《论世界的和谐》（The Harmony of the World, 1619）一书中兴高采烈地宣布的。
1701059879
1701059880
因为地球到太阳的距离是93百万英里，公转周期是一年，我们可将它们代入方程来确定k的值。如果知道了行星的公转周期，就可以用这条定律来计算它离太阳的平均距离，反过来也一样。
1701059881
1701059882
毫无疑问开普勒会喜爱发现行星之间的距离关系，但他所得到的结果使他欣喜若狂，在书中叙述了这条规律后，他激情迸发，唱起了对上帝的赞歌：
1701059883
1701059884
上帝的智慧是无穷无尽的；他的荣耀和大能也是无穷无尽的。天空啊，唱起对他的赞歌！太阳、月亮和行星，用你们说不出的语言来颂扬他！天体的和谐，所有领悟他奇妙作品的人，赞美他吧。我的灵魂啊，赞美你的创造者吧！只是通过他而且在他之中一切才会存在。我们深知的，包含在我们虚荣的科学中，也包含在他之中。赞美、荣誉和荣耀都永远归于他。
1701059885
1701059886
我们应该附带说明，开普勒能够构想出简单的规律，是因为行星之间的引力相对来说很小，而且太阳的质量恰好比行星的质量大得多。不管怎么说，开普勒的工作是一项巨大的创新，是对日心说的大大推进。
1701059887
1701059888
今天所受的教育已使我们接受了日心说和开普勒定律，因而不能充分理解哥白尼和开普勒所取得的成就的意义。回顾一下他们研究所处的背景，看看他们的数学真正完成了什么，对我们是有益的。
1701059889
1701059890
哥白尼和开普勒身处16、17世纪。自托勒密的时代以来地心说的力量就很强大，非常符合已牢固确立的宗教教义。地球是宇宙的中心，人是宇宙的主角。太阳、月亮和星星是特地为我们创造的。日心说否认这些基本的信条，还隐含着这样的意思，即人是许多高速旋转的球体之一上的一颗无足轻重的尘埃。那么人还可能是上帝救助的主要对象吗？新天文学还摧毁了天国和地狱，而在地心说中这些都有合理的地理位置。
1701059891
1701059892
哥白尼和开普勒都有高度的宗教感，然而他们都否认基督教为中心教义之一。将地球移出了中心位置，哥白尼和开普勒就抽去了天主教神学的一块墙角石，危及整个大厦。哥白尼攻击地球是宇宙的中心的论点，指出与地球相比宇宙是如此广漠，谈论中心是没有意义的。然而，这一论证使他与教会更加对立。
1701059893
1701059894
也有一些反对日心说的合理科学的论证。如果地球处于运动中，在地球轨道的不同位置上，看起来似乎是固定在天空上的恒星的方位应该不同。然而，这种差别在16、17世纪没有观测到。哥白尼回答说，与地球的轨道相比，恒星的距离非常之大。他的对手反驳道，要使方位变化观测不到，这需要的距离与恒星清晰可见的事实矛盾。
1701059895
1701059896
哥白尼的解释结果证明是正确的，不过，如果得知恒星离地球距离的现代数据，即使他也会吃惊不小。从地球轨道的一个位置上到另一个位置上所见的恒星方位的变化，是由数学家弗里德里希·威尔海姆·贝斯尔（Friedrich Wilhelm Bessel, 1784—1846）首先于1835年测出的，对于最近的恒星结果是0.76弧度秒（0.76″）。
1701059897
1701059898
上述反对意见只为几个专家认真地坚持。但还有一些其他的有效科学的反驳，即使外行也可以理解。无论哥白尼还是开普勒都不能解释，地球这样重的物是怎样开始运动的，又是怎样保持运动的。过去人们相信天体是由轻物质组成的因而能够很容易运动，所以在地心说理论中其他的行星也运动这一事实并没有使他们困扰。哥白尼能够给出的最好的回答就是，对于任何球体来说，运动是自然的。同样麻烦的是这样一个问题：为什么地球的自转没有致使上面的物体飞到太空中去，就像一个旋转平台上的物体一样？的确，托勒密正是基于这个理由，拒绝承认地球的自转。更进一步的问题是，为什么地球自身没有飞散分崩？对于这后一个问题哥白尼回答说因为运动是自然的它就不会摧毁自身。他还反击道，地心说设定天空每天作快速运动，那为什么天空没有飞散分崩呢？完全没有得到回答的是这样一个问题：如果地球从西往东自转，抛向空中的物体当落回地面时应该在其原来位置的西面。而且，正如自古希腊以来几乎所有的科学家所相信的，如果物体的运动与其重量成正比，为什么地球没有把较轻的物体落在后面？即使围绕地球的空气也应该被落在后面。尽管哥白尼不能解释地球上所有的物体都随它运动，他解释空气的存在时说，空气与地球相似，因而具有同感地随地球运动。开普勒提出了一种理论说，上抛物体在地球自转的同时还落回原处，是因为有看不见的有吸引力的链条将物体连在地球上。
1701059899