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法拉第得出的结论是，有一种媒质包围着通电物体，媒质中接触的微粒相互作用，电的磁效应是通过这种作用传播的。他称这种媒质为电介质。在这种媒质中，磁效应通过磁力线而活动，这种线不可见，但法拉第相信它们是实在的。
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法拉第承认关于磁力线的猜想可能会出错，也是可以改变的，不过这对于实验物理学家和数学家有所助益。他还说，这样的猜想会引向真实的物理真理，并努力构想电磁感应的物理解释。他的假说是，磁力线从电流或磁极出发伸向各个方向，并且他给出了一些实验证据来支持他所尝试的物理解释。例如，将铁屑扔到磁棒附近的空间中，它们自动地沿着磁力线排列。
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尽管法拉第充分意识到数学的功能，但他的天才仅局限于实验和物理思想。在复杂的电磁感应现象这一事例中，物理思想有其大大的劣势。对于抛射体的运动、抛射角和射程形成思维图像是容易的。然而，电磁场是不可见的，它们的布局不是很容易得出的。尽管在炮制物理图像时他过去曾成功过，但法拉第意识到物理思想不会使他有多大进展。法拉第已经到了这样一个阶段，物理学对于物理学家来说已经太难了，需要数学家效劳。
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幸运的是，19世纪伟大的数学物理学家詹姆斯·克拉克·麦克斯韦（James Clerk Maxwell, 1831—1879）正在勤奋地为这项任务做准备。青年时期麦克斯韦就显示了能够做出一流贡献的迹象。他15岁时写的一篇关于产生一些曲线的力学方法的论文发表在《爱丁堡皇家学会年报》（Proceedings of the Royal Society of Edinburdge）上。在爱丁堡大学和剑桥大学求学期间，他的教授和同学就看出了他的聪明杰出和原创力。1856年，他被选为阿伯丁的麦利考学院的物理学教授。几年后他转到伦敦的国王学院。1871年，他又到剑桥大学任教。
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像所有科学家一样，麦克斯韦致力于他那个时代的富有挑战性的问题。他发明了彩色照相术，而且是气体运动理论的提出者之一。不过我们这里关注的是他在电磁学中的成果。他致力于用一个理论综合所有已知的电磁现象。他通过阅读法拉第的《实验探究》（Experimental Researches）而开始了电磁学研究。1855年，当23岁时，他发表了关于这一课题的第一篇论文《论法拉第的磁力线》（On Faraday’s Lines of Force）。在这篇和此后的论文中，麦克斯韦致力于将法拉第的物理探索翻译成数学形式。
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19世纪50年代早期，威廉·汤姆逊（William Thomson，即开尔文勋爵；1824—1907）的成果给了麦克斯韦很大影响。汤姆逊赞同对电磁现象作力学解释，他用液体的流动、热的传导和弹性作为模型。他将这些类比应用于以太。他认为以太是一种场，与超距作用相反，其中接触的微粒间有力的作用。在这之前，数学家柯西、泊松和纳韦曾提示过这种看法。麦克斯韦也寻求以太作用的力学解释。然而，他和汤姆逊都没有成功。汤姆逊引入了现在叫做场的概念，以反对超距作用。这麦克斯韦也采纳了。汤姆逊还创立了关于波的传播的数学理论，麦克斯韦从中有所获益。
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1861年，通过将以太当作弹性媒质，麦克斯韦获得了对未解决的电磁感应现象的新的洞察。法拉第将电流从一个线圈转移到另一个上的成果表明，磁场能够传播一段距离。麦克斯韦还得出一个结论：有变化的电流穿过了包围第一个导线线圈的空间。他称这种电流为位移电流。这就解释了在与导线中实际的物理电流有一段距离的地方为什么会有电流的效用。在这篇论文中麦克斯韦谈及了他对位移电流的第一瞥，但是尚不清楚、不完整。
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为证实并完善他对位移电流的理解，麦克斯韦考虑电路中电容的行为。一个电容由两块相互平行的板组成，其间是绝缘媒质如空气、甚至是真空。然而交变电流却能从一块板传到另一块板上。在麦克斯韦看来，很明显是以太将位移电流从一块板传到另一块上。
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1865年麦克斯韦发表了他的关键性论文《电磁场的动力理论》（A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field），在其中他抛弃了所有的物理模型，而提出了合适的数学理论。他的方程包括一个新项，物理上代表位移电流。这个数学公式使他相信这种电流能传播很远的距离。
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这种位移电流的本质需要一些附加解释。追随法拉第，麦克斯韦将电磁场看成存在于磁体和带电流导线周围。安培定律本身处理的是一导线中的电流。然而，当电流交变时（例如，假设它随时间正弦变化），导线中的电子快速地往返运动。从而，运动电子所建立的电场也将运动，在导线外空间中的任一点上，电场的强度也随时间变化。因而，导线中的交变电流，可看成是和导线周围空间中的变化电场共存。麦克斯韦承认这种变化电场的实在性，并评论道，它具有电流的数学性质，尽管电场本身（除了产生电场的导线）并不由电子的运动组成。他认为称这种变化的电场为位移电流是有理由的，因为这等效于电场的位移或变化。在《论电磁现象》（Treatise on Electricity and Magnetism）（1873）中，麦克斯韦自己的话清楚阐述了他的结论：
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这部论著的主要特色之一就是所断言的这样一个信条：电磁感应现象所依赖的真正的电流，和传导电流（导线中的电流）不是同一个东西，而在估算电的整个运动时，必须考虑电位移的时间变化。
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麦克斯韦探讨位移电流之存在的数学含义。奥斯特定律认为导线中的电流伴生磁场。但既然麦克斯韦在传导电流即导线中的电流外加上了位移电流，他就得出了这样的结论：位移电流也产生了一个磁场，而这个磁场是先前被认为是由传导电流单独产生的磁场的组成部分。换句话说，导线周围的磁场必定是由两种电流，传导电流和位移电流产生的。
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将要旨简述一下，麦克斯韦有胆识的第一步就是，引入了位移电流，并猜测这种存在于空间而不是导线中的电流也产生磁场。这样，他就修正了安培定律，使总电流（传导电流和位移电流）和从导线中发出的磁场联系起来。从而，麦克斯韦定律的精髓在于，变化的电场，无论是产生于传导电流还是位移电流，都产生磁场。如果我们再回想一下由麦克斯韦表述的法拉第定律，即变化的磁场产生变化的电场，就可以看出，麦克斯韦引入了相互联系。
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现在我们能够理解麦克斯韦从数学推理中所预言的了。线圈CD（图29）中的正弦电流所产生的波在周围的空间中产生了变化的电场，后者又产生了变化的磁场。但是这个磁场又产生了变化的电场，而后者又产生了变化的磁场。在线圈CD中的电流所施加的持续“压力”下，这些场将做什么？答案几乎是明显的。它们将向周围空间传播，到达远离线圈CD的点。它们甚至可以到达“远离”的另一个线圈EF。在那里，变化的电场将在导线中产生电流，这一电流可以有电流可能有的任何用途。这样麦克斯韦发现了，电磁场（即变化电场和变化磁场的组合）会传向遥远的空间。顺便提一句，当法拉第考虑如果线圈EF和线圈CD分开一些会发生什么时，他已经猜到了这种可能。然而，法拉第是在物理依据上猜测的，没有理解其机制，也没有意识到位移电流的存在，而麦克斯韦是建立在数学依据上。
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波有波长和每秒的变化频度。在电磁波的情况中，波长是由所用线圈的大小决定的（尽管这不是很明显）。使线圈（或者无论什么用来发射电磁波的导线）适度的小，波长必然小。
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为解释这些量，我们来考虑具有图30所示特征的正弦波。一周就是图上从O到A的曲线。这样一周在一秒钟内重复许多次，每秒钟的周数就是频率。所谓的波长λ（lambda）是从P到Q的距离。波每秒钟传播的距离就是波长乘以频率，得出公式
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其中c就是波的运动速度。
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图30
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电磁波比这要复杂些。不但电场正弦式地传出，磁场也是这样。此外，两个场相互正交，且两者都与场的移动方向正交。图31显示，电场E的方向和磁场H的方向正交。
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这样，麦克斯韦的第一个且是最伟大的发现就是，电磁波能够从发射源传播成千上万里，并且推测起来，可以被遥远之处的合适仪器检测到。在其数学工作的进程中，麦克斯韦作出了另一个巨大的发现，这是关于光的。从古希腊时代开始光现象就在被研究，经过许多次试验，有两种物理理论相互竞争，需要解释。一种理论坚持光是沿直线运动的不可见微粒组成的。另一种理论认为光是波的运动，并提出了关于这些波如何形成、如何传播的各种各样的解释。两种理论对于光的反射和折射（譬如说光从空气中传到水中时方向的改变）的解释都差强人意。但是，对于光的衍射——即当光绕过障碍物如一个圆盘时的转弯——波动理论解释得更为合理，这种波动理论能够解释当水波绕过船尾时的转弯。在19世纪早期，托马斯·杨（Tomas Young, 1773—1829）和奥古斯丁·菲涅耳（Augustin Fresnel, 1788—1827）有力地辩护了波动理论，不过这涉及一种他们没有明确指明的媒质。
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图31