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在藏本由纪对于这种混乱状态的分析中，他发现用一个单独的数字来量化同步的程度是有帮助的，这个数字叫作“序参量”（见图2-4）。
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图2-4 同步程度量化
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直观地讲，相对于每个人一个接一个地跑，肩并肩跑步是一种更紧密的同步形式，因此应该有一个更高的同步分数，即更高的序参量。序参量的数值总是介于0和1之间，由一个数学公式计算而来，数值大小取决于每个人的相对位置。一种极端的情况是，每个人都处于完美的同步状态，此时的序参量等于1；另一种极端情况是，跑步者随机分散在跑道上，此时的序参量等于0；而一个松散小组的序参量小于1。
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与温弗里不同，藏本由纪并没有使用计算机来为系统的行为提供线索，而是仅仅听从了直觉的指引。这使得他猜测的最终结果更具先见之明：藏本由纪预测，从长远看，群体总是会进入一个尽可能稳定的状态。跑步者仍在前进，但他们在小组中的相对位置并没有改变，所以序参量是恒定的。此外，小组自身也会按照由其成员决定的某个折中的速度平稳前进，在藏本由纪看来，这个速度应该也是恒定的。
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这是一次大胆的数学猜想，藏本由纪只寻求那些与他的直觉相匹配的方程的解。如果方程的解中没有恒定的序参量和恒定的小组速度，那么他就选择无视。他知道自己寻找的是什么，并准备无视其余的一切。这是一种大胆的思考方法，因为如果真相并非如他所想，就会被错过。另一个危险是，他可能会徒劳无功，因为可能并不存在他所期望的解的类型。然而，藏本由纪认为这种解一定存在，于是便开始着手寻找它们。为了给自己尽可能大的灵活性，他没有提前指定序参量和小组速度，只是规定它们必须是恒定的。确定它们的数值是问题的一部分。
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藏本由纪发现，这个系统能够以两种非常不同的方式满足他的要求。序参量可以永远等于0，这意味着群体完全且永远是杂乱无章的。小组从未形成过，你会看到跑道各处分散着各种速度的跑步者，这是系统距离同步最远的状态。令人惊讶的是，无论跑步者的能力千差万别还是不分伯仲，这种“非相干状态”总是一种可能的结果。即使他们的速度完全相同，一旦最初设定完成后，这种“非相干状态”就会永远持续下去。直观上的感觉是，跑步者没有受到影响，没有小组吸引他们加入，所以我们默认每个人都在按照自己偏爱的速度跑，整个群体依然像先前一样混乱。另一种可能性是“部分同步”状态，由三个小组组成：由平均水平的跑步者组成的同步小组；由懒散的龟速跑步者组成的非同步小组；以及由田径明星组成的非同步小组。与前一种“非相干状态”不同，这种状态并非总会出现。藏本由纪发现，只有差异在一个特定的阈值之内时，这种状态才会出现。如果钟形曲线比这个阈值更宽，就意味着俱乐部成员的差异相当大，此时“部分同步”状态便会出现。这暗示着，在萤火虫或脑细胞群体中，振子必须极为相似，否则将不会出现同步。
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藏本由纪一举证实了维纳和温弗里两人的观点。“部分同步”状态正是维纳构建阿尔法脑波模型时所思考的。维纳的脑电图谱中央的窄峰对应同步小组，两侧的尾巴对应太慢或太快的难以被吸收进小组的非同步振子。而温弗里曾发现的相变与藏本由纪发现的阈值相同。他们二人都意识到，只有群体成员足够相似，同步小组才会形成。而维纳漏掉了这重要的一点。
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令人感到新奇和振奋的是，除去看到了相变以外，藏本由纪还为它推导出了正确的公式。此外，他还可以精确地计算出小组的有序程度，即一个钟形曲线宽度的函数。藏本由纪的公式表明，一个微小的同步核心会诞生在阈值处，此时序参量略微大于0。随着振子差异的减小，它们会变得更加相似，序参量随着同步小组吸引的群体中更多的成员而增大。最后，当钟形曲线宽度等于0时（对应于全同振子），藏本由纪的公式预示了一个完美的有序状态，即所有振子全部同步。
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1986年，我刚博士毕业不久，开始与波士顿大学数学家南希·科佩尔一起攻读博士后。南希40岁出头，刚刚开始她的职业生涯。她风趣而又富有魅力，是一位深刻的思想家，同时也是一位迷人的讲师，当时被公认为最优秀的数学生物学家之一。特别是，她和她的合作者巴德·艾门特劳德（Bard Ermentrout）制造了一次轰动，他们把新的数学方法带到了对神经系统的研究中。我们在开会时见过几次面，当时我的目标是深化自己的数学训练，她似乎是我职业生涯下一阶段的理想导师。当我提出想研究多振子问题时，她建议我深入研究一下藏本由纪的模型。
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我立刻被藏本由纪的模型迷住了。在我的研究生课程中，教授总是教导我们说，大型非线性系统是魔鬼，几乎不可能解决。然而，这里就有一个解决方案，它十分完美，也并不难以理解。在仔细阅读藏本由纪的论证时，我发觉自己开始一行行地跟随着他的脚步前行。南希笑对我的热忱，然后温柔地指出了藏本由纪的论证中存在的所有缺陷和不合理的逻辑跳跃。对于一个初出茅庐的数学家而言，我在这里看到了大量的机会。我想要通过自己的工作让藏本由纪的推测站得住脚。转年，我开始和南希一起工作，试图证明一个我们二人都坚信正确的理论。尽管我从未成功解决这个问题，却也越来越痴迷于这个模型。
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甚至在博士后学习结束以后，接下来的数年时间里我仍然在断断续续地思考那个模型。让我着迷的问题是，秩序究竟是如何从随机状态中涌现的？一个由数以百万计的粒子组成的系统如何自发地组织自己？这个问题听起来很神秘，带有浓厚的宗教色彩，不禁让人们联想起《圣经》中的创世故事，《圣经·创世纪》中记载，地球的开端是虚空且未成形的，古希腊人把这种状态称为“混沌”。
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我们可能永远也无法理解宇宙中的秩序的起源，但是在藏本由纪的模型所假想的宇宙中，这个问题简化了许多，我们可以用数学解决它。在这里，创世问题变成了“非相干如何产生同步”。有一天我突然意识到，有一个简单的方法可以把这个问题构建成解微分方程组的问题：我需要将非相干视作一种平衡状态，然后计算它的稳定性。
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为了澄清这些熟悉的词语，即平衡、稳定的数学意义，我们可以想一下房间中的一些例子。如果我们把一杯水放在厨房的桌子上，水会在杯中左右摇晃一两秒，然后平静下来。水面呈水平时，这就是平衡状态。从这个意义上讲，水会永远保持这种状态。另外，平衡也被称为稳定，因为如果我们摇一摇杯子，然后停止，过一会儿，水面仍会恢复到水平。因此，平衡意味着没有变化，稳定意味着轻微的扰动消失。现在再来看看另一个例子。拿一支削尖的铅笔，将它笔尖朝下竖立起来，使保持平衡，然后放手。如果铅笔完美地保持了平衡，它将会继续立在那里，根据定义，这也是一种平衡状态。但很显然它是不稳定的：即使是最小的空气扰动也会将铅笔吹倒，而且它再也无法自己立起来。
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对于藏本由纪的模型，非相干是一种平衡状态。如果各个频率的振子均匀分散在圆周上，那么它们会永远均匀地分散着。虽然振子围绕圆周运动，但是它们的间距始终保持不变。这里有一个悬而未决的问题是：这种平衡是像杯子中的水一样稳定，还是像笔尖立在桌子上的铅笔一样不稳定？如果它是不稳定的，那么就将意味着同步会自发出现，跑步者最终会形成一个小组。
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这个问题困扰了人们15年。藏本由纪曾公开表示自己对它感到好奇。在书中，他还曾写到自己不知道该如何开始。这个问题令人困惑，因为振子有无限多种不同的方式达成“非相干状态”，这正是困难之处。非相干并不是单一的状态，它是由无穷多个状态组成的大家庭。
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多年来，我一直不知道如何在稳定问题上取得进展。后来，在一个深夜，在入睡前的黎明时分，一个奇怪的画面进入到了我的脑海中：振子并不真的像跑步者，而是像流体中的分子。正如水是由数以万亿计的离散的分子组成的，这个虚构的“振子流体”由数以万亿计的围绕圆形跑道运动的离散点组成。这个图景着实比藏本由纪的模型更古怪。我需要将分布图中的每一种频率设想成不同的流体，这里有无限多种不同的频率，如同彩虹的色彩的混合。所以，我构想了一道由各色流体组成的彩虹，所有流体都围绕同一圆周旋转，从不混合，正如振子永远不会改变其固有频率。这个迷幻构想的优点是：非相干变成了一个单独的状态。它不再是一个拥有无穷多状态的大家庭，而是只有一种均匀密度的状态，即各种颜色的流体均匀地分散在圆周上。
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我从床上跳了下来，抓起纸笔。梦境中的想法往往是幻想，但这次感觉像是正确的。我要做的，首先是让流体力学定律适用于我假想的振子流体。然后，我列出了检测稳定性的方程组：对平衡状态的系统施加干扰，求解扰动方程（这些方程是可解的，因为它们是线性的，即便初始系统并非线性），检测干扰是增强还是减弱。
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这些扰动方程表明，问题的答案取决于振子的相似程度。如果它们完全相同，或几乎相同，那么当振子同相聚集在一起，处于同步初期的时候，扰动会呈指数级增加。接着，指数增长率公式便可脱口而出（类似于利率与你在银行中的存款增长速度的关系）。先前从未有人发现这样的公式。无论对错，这都是一个确定的预测。我当时还在想，到了早晨，我一定要在电脑上验证它。
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当我一行行写出计算过程时，手心一直在出汗：我的设想全都是正确的。我看到了秩序的诞生，然后我停了下来。是否存在一个临界频率，使增长率降为0，并且使“非相干状态”不再稳定呢？是的，临界状态就出现在藏本由纪发现的阈值处，这下我放心了。我刚刚发现了一种计算相变的新方法，即自发同步第一次出现时的临界点！
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天亮后，我打电话给同事伦尼·米洛罗，把自己的发现讲给他听。我描述了自己关于振子流体的想法，但没多久他就打断了我：“这是什么诡辩？”作为一名纯数学家，他从未研究过流体力学，他喜欢直来直去、不附带任何形象的描述。对他而言，整个计算听起来有些可疑。当天晚些时候，我去了办公室，证实了预想的增长率与计算机模拟结果完全一致。于是，伦尼很快认同了我的想法。
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我们一起解决了阈值另一侧的“非相干状态”的稳定性，这里的频率分布范围很大，类似于冰点之上的温度。我们期望“非相干状态”现在可以变得稳定，但是方程告诉我们它是“中性稳态”，这是一个非常罕见、边缘性的情形，此时的“瞬态干扰”既不增加也不衰减。
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我们可以设想一个光滑的半球形碗底部有一个弹珠，如果你把弹珠从碗底移开，它会滚回来：碗底是一个稳定的平衡点。现在我们假设碗的形状可任意调整，通过转动旋钮，你可以逐渐把它变为较平坦的形状，它的曲率更小，像一片巨大的隐形眼镜。这样的碗底仍然是稳定的，但稳定性比前者差一些：移走的弹珠会慢慢滚回来。随着你继续转动旋钮，碗的形状变得越来越扁平，旋转到一个临界值的时候会变成完全水平的形状，接着，它会变成一个倒置的隐形眼镜，一个平缓的穹顶，直至最后变成一个倒扣的半球形。在变形过程中，碗底变成了穹顶的顶部。而移走的弹珠会从侧面滚下来，平衡状态也变得不稳定了。改变发生在稳定与不稳定之间的临界边界，即隐形眼镜变成完全平坦的时候。当旋钮转到这个位置，且只有这个位置时，平衡既不是稳定的，也不是不稳定的，这就是中间状态——“中性稳态”。从中性平衡状态移走的弹珠不会滚回来，但也不会滚远。