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“对不起，我只是想问：您是斯托加茨教授吗？”
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“是的，什么事？”
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“哦，嗯，我只是想说，我读了您关于混沌的书，非常着迷。”
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然后他走开了。阿尔达和我彼此看着对方，然后大笑起来。
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也许只有在麻省理工学院才会如此……
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阿尔达关于流行的问题突显了我们对同步的人文性了解甚少。过去，耦合振子理论家总是回避心理学和群体行为学的问题。然而，人类同步的迹象是不容忽视的：股票交易者的从众心理以及股市中因而发生的涨跌；聚众闹事者野蛮的愚蠢行为；群体思维引发的政治和商业问题；甚至那些无伤大雅的情境，例如鸡尾酒会上所有人一齐陷入沉默的尴尬时刻……这些都是群体层次的同步实例。同步的心理维度同样也显示在个体层次：为什么音乐让我们如此振奋？又是什么造就了大自然中的同步奇观，例如鸟群和鱼群优雅的运动？为什么我们一起跳舞会更快乐？我们为什么会喜欢彼此协调一致？
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特别是，当阿尔达提出流行问题时，我们对人类群体行为的数学原理知之甚少。除了20世纪50年代阿纳托尔·拉波波特（Anatol Rapoport）做的一些开拓性工作和数学社会学家和经济学家的后续努力，例如托马斯·谢林（Thomas Schelling）发现了“临界点”，该领域的研究一直进展缓慢，一是因为缺乏实证研究和数学工具，二是因为计算机模拟尚且处于萌芽状态。然而，在过去的几年中，这个课题经历了一次复兴。社会学家借用网络技术分析了骚乱、流行以及新事物传播的规律。物理学家研究了音乐会观众如何从杂乱无章的掌声过渡到同步的、雷鸣般的掌声。复杂性理论学家们正在构想关于交通流量的新理论，解释为什么拥堵可以持续数小时（即便在没有事故或其他明显原因的情况下），或是一群自私的司机如何会在不经意间陷入到合作的车队中，此时所有车辆步调一致地前进，像是怪异的、凝固的群体。
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这些研究的结果通常是反直觉的。意想不到的集体行为的涌现在个体属性上体现得并不明显。当然，所有模型都是极为简化的，但这也正是问题的关键。如果连群体的理想化行为都会让我们大吃一惊，那么我们可能会进一步发现真实群体行为的线索。
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关于流行问题的研究都基于一个经典模型，这个模型是由马克·格兰诺维特（Mark Granovetter）在20世纪70年代提出的。格兰诺维特用假想的100名暴徒的故事来阐述自己的研究成果，这100名暴徒可能处于暴动的边缘。格兰诺维特假设，每个人是否暴动取决于其他人的行为。煽动者会最先发起暴动。其他人在加入之前会观察参加暴动人数的临界值。我们假定，群体中的每名成员所参考的暴动人数临界值（阈值）呈现某种概率分布。
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格兰诺维特最著名的暴徒暴动例子，其阈值在0～99之间均匀分布。换句话讲，一个人的阈值是0，另一个人是1，以此类推。我们很容易预测在这样的群体中会发生什么。阈值为0的人会发起暴动，即便当时群体中并没有暴动的人。然后，阈值为1的人看到有一个人（煽动者）打破窗户，便受到刺激，继而加入暴动。既然现在有两个人暴动了，那么阈值为2的人便加入。就像导火索的燃烧或多米诺骨牌的倾倒，暴动会吸引越来越多的人，直到所有人都加入。这是显而易见的，但这正是难解之处。格兰诺维特说，假设我们用最轻微的方式改变人群的初始配置，阈值为1的人被阈值为2的人取代。现在，煽动者发起暴动时，没有人响应它，因为所有人的阈值都大于1。换句话讲，不会有暴动发生。
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令人惊讶的是，这两种假设的条件几乎没有区别，至少在通常的社会学方法上如此。人群的平均构造用尽可能小的方式进行改变，阈值的整体分布几乎是相同的，而结果却截然不同：一种是全面暴乱，另一种则是一个孤独的疯子横冲直撞。旁观者可能将前者描述为一群暴徒，而将后者描述为一个疯子毁了一次和平示威，而事实上，二者却是十分近似的复制品。我们的经验是，人群的集体动力学特性对它的配置非常敏感，这可能是聚众暴乱难以预测的原因之一。
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在诸多简化的格兰诺维特模型中，也许最重要的简化是假设每个人对所有人都有完善的认知。这种近似是我们在最简单的振子模型中遇到的多对多耦合的社会学模拟，此时每只萤火虫都能看见群体中的所有成员。哥伦比亚大学社会学教授邓肯·瓦茨研究出了更真实的案例中的数学，每个人都受到朋友和亲密同事组成的特定子集的影响。瓦茨的模型受环境驱使，在这种环境中，口头的传输或社交网络的沟通（与广播或全球知名度相对）是互动的主导形式。在这种分散的网络中，协同行为的自动爆发似乎特别神秘。瓦茨提出了这样的难题：
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为什么一些书籍、电影和唱片只有很少的营销预算，却会从默默无闻中脱颖而出成为畅销品，而许多先前付出同样努力的作品却并未成功？为什么股市会出现偶尔的大波动，却无法追溯到任何与之关联的重要信息？基层民众大规模的社会运动如何在没有集中控制或公共通信的情况下展开？
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所有这些社会现象都涉及从众行为，即每个人都依赖别人的决定来指导自己的行为。更抽象地讲，请想象一个任意类型节点的网络（可以是公司、人、国家或其他决策者），假设每个节点都面临相同的二元选择：是否采用一种新技术，是否参与暴乱，是否签署条约。在格兰诺维特模型中，采用新技术、暴乱、签订条约是由其他节点做出相同选择的数量决定的，然而现在，每个节点只关注它特定的那些“邻居”——其决定会对它产生影响的节点。例如，1985年，当时的传真机还是新奇物品，一家公司是否购买一台传真机会受到商业合作伙伴是否已经购买传真机的强烈影响，因为拥有传真机的联系人越多，传真机才会变得越有用。每个节点的阈值被定义为必须采取行动的邻居所占的比例。为了允许群体中存在多样性，瓦茨假设，某些节点比其他节点更喜欢冒险，同时假设某些节点的连接更多。用数学语言讲，这意味着阈值和邻居的数量都在群体中呈现出某种分布。最后，鉴于它分配了邻居的数量，每个节点会努力将这些边连接到群体中随机选择的节点上（不真实，尽管已经进行了上述近似，但是这种分析仍然很困难）。
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实验开始时，随机选取一个节点作为决定冒险的创新者，它是一粒火种，也可以将它想象成倾倒的多米诺骨牌。然后，每个节点一个接一个地按照随机顺序，观察它的邻居，计算出它们倒下的比例。如果已经超越了阈值，它便倒下，否则就保持直立。当每个节点都被轮过之后，计算和翻倒的过程重新开始。某些骨牌可能在第一轮就会倒下（即火种身边那些阈值很低的邻居们，直接受火种的影响而倒下），它们会转而发起第二轮翻倒的波浪。但如果火种的连接很少，或它的邻居十分保守，阈值很高，骨牌翻倒的趋势可能一开始就会停滞。
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在这种理想化的模型中，瓦茨可以确定出单张多米诺骨牌触发巨大倾倒的确切条件。他同样试图解决这种连锁反应的可能性和规模，以及使网络或多或少容易发生连锁反应的风险因素。结论必然是符合统计学特征的，在未进行特性的计算机模拟之前，没有什么可以提前说明。每次运行结果的细节各不相同，这取决于火种的位置，阈值在整个群体中的分布以及每个节点之间不同的连接方式。然而，一些引人注目的趋势还是出现了，这些趋势通常不易通过常识预测到。
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实验的主要结果是，该模型显示了两个不同的相变，即众所周知的临界点。如果网络的连接太稀少，它会碎裂成微小的岛屿，倾倒便无法波及到它们。当连接处于更高的临界值——第一个临界点时，这些岛屿会突然连接成一张巨大的网络，全局性的倾倒便成为可能。一粒最初的火种可以触发倾倒趋势的蔓延，这种变化最终影响了群体中的大部分成员。随着连接的进一步增加，一开始，正如人们所预料的那样，连锁反应变得规模更大、更可能被触发，但是随后发生的事情却完全相反，连锁反应变得更罕见了，当网络超过某个临界的连接密度时，倾倒突然消失了。第二个临界点的出现是由于稀释效应存在：当一个节点有太多的邻居时，每个节点的影响就会变小，使之不足以触发倒塌。请记住，每个节点将自己的阈值与已倒塌的邻居所占的比例进行比较，而不是与绝对值进行比较。从比例的意义上讲，邻居越多，单个的影响就越小。
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当网络连接密度刚好位于第二个临界点之前时，此时的结果极度难以预测，就像真实的流行现象一样。成千上万有希望的火种会使网络躁动不安，每一个所引发的至多是一个令人失望的涟漪，很快便会消散。通过这一措施，网络表现出高度的稳定性，可以抵抗外部干扰。然后另一粒火种出现，它似乎与先前的那些创新者没什么区别，而这一个却触发了大规模倒塌。换句话讲，在接近第二个临界点时，流行的发生很罕见，但流行一旦发生就呈现排山倒海之势。
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这是直观上能看到的事情。潜伏在网络中的是节点的连通子集，即瓦茨所谓的脆弱集群。该集群的几何结构，即它渗透到网络中其余部分的方式，正是问题的关键之处。用营销话语体系讲，脆弱集群是由“先行者”组成的：它们不是火种，而是随时准备倾倒的节点，即便只有一个邻居倒下，它们也会随之倾倒。接近第二个临界点时，脆弱集群是微弱的，是几乎看不见的——它们只占整个网络中的一个非常小的百分比，因此，一个随机火种点燃它们的概率非常小。但一旦点燃，它们就会将缓慢燃烧的火焰蔓延到自己的邻居，然后再蔓延到邻居的邻居，然后继续燃烧下去，直到整个巨大组件（支配整个系统广阔的相互连接的节点）被火焰吞噬。此时，令人惊讶的是，巨大组件中几乎所有节点都不是先行者；它们是一个更顽固的群体，阈值更高，营销话语体系中将其称为“早期和晚期从众者”。然而，因为网络在接近第二个临界点时连接如此紧密，所以恰巧点燃脆弱集群的火花能够创造足够强大的势头，足以将每个个体引爆。
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瓦茨模型显然是一幅漫画，它脱离了真实社会结构的丰富性，并假设所有人的友谊都是相同的，每粒火种都有相同的感染力，但即便如此，它仍然模仿了真正的流行现象最令人费解的特征：不可预测性、稀缺性和随意性。特别显著的特征是，在第二个临界点附近，一个不太可能引起连锁反应的爬升，它慢慢开始，建立在口口相传之上。
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瓦茨模型同样做出了可检验的预测，预测并不是关于单一流行的（根据理论，这是不可预知的），而是基于总体视角关于许多流行事物的统计。这些统计结论为什么样的干预最有可能触发倒塌提供了信息。例如，分析表明，群体的异质性有混合效应，更大范围的阈值会破坏系统的稳定性，使系统更易受到流行的影响（本质上是因为这种情况有更多的先行者），而更广泛的连接（每个节点的邻居数量变化更大）使系统趋于稳定。此外，连锁反应往往始于靠近模型两个临界点的不同位置处。在第一个临界点附近，此时的网络仍然是稀疏的，几乎没有连接，倾倒最易在中心处开始，即拥有最多连接的节点。在第二个临界点附近，发生的倾倒通常在平均节点上，它们是不起眼的小人物，触发倾倒的原因仅仅是它们的数量太庞大了。
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与流行相反，至少有一种形式的人类群体行为你每天都会遇到：交通高峰时段令人发狂的拥堵。根据大多数预测，拥堵只会变得越来越糟。到2020年，洛杉矶惯常的通勤时间将会是1990年时的两倍，平均速度仅为每小时38公里。缓解拥堵问题的各种建议正在考虑中，例如缴纳道路使用费，改善公共运输系统以及设置汽车和卡车的专用道等。与此同时，物理学家和复杂理论学家正在讨论一个新近提出的、最初引发拥堵的动力学问题。他们的新模型表明，交通问题比人们通常想象得更复杂、更不可预测，拥堵在很大程度上是因为司机之间的非线性相互作用。
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