1701097668
1701097669
1701097670
刘徽记载了其推导方法。弦方c₂可以分解为股方b₂与一个面积为勾方a₂的折矩形，其宽为c-b，如图2.2（a）所示；亦可以分解为勾方a₂与一个面积为股方b₂的折矩形，其宽为c-a，如图2.2（b）所示。将其中一个旋转180°，叠合到另一个上，如图2.2（c）所示。考虑两折矩形，它们的面积之和是c₂，未填满弦方c₂中以a＋b＋c为边长的小正方形，却在两端长c-a，宽c-b的两矩形重合。因此，
1701097671
1701097672
1701097673
1701097674
1701097675
由
1701097676
1701097677
1701097678
1701097679
1701097680
便证明了上式。
1701097681
1701097682
此外，勾股章“引葭赴岸”问的术文应用了已知勾与股弦差求股、弦的公式。20世纪我国流传的中学数学读物中有所谓印度莲花问题，与这个问题相同，却晚出七八百年。数典不能忘祖，应该恢复这个趣味题的本来名称。“竹高折地”问的术文应用了已知勾与股弦和求股、弦的公式。1989年高考语文试卷的古文标点与翻译，就是这个题目。“户高多于广”问的术文应用了已知弦与勾股差求勾、股的公式。“甲乙同所立”与“甲乙俱出邑”二问在世界数学史上最早使用了勾股数组的通解公式：设(c＋a):b＝m:n，则
1701097683
1701097684
1701097685
1701097686
1701097687
3．《九章算术》的缺点
1701097688
1701097689
我们在表彰《九章算术》的成就的同时，不能忽视它的缺点。
1701097690
1701097691
首先就是没有任何数学定义，也没有任何推导和证明。当然，这并不是说《九章算术》在提出这些算法时没有某种形式的推导。
1701097692
1701097693
《九章算术》的编纂者没有把数学定义和数学推导编入，钱宝琮认为，这“与儒家的传统思想有密切关系”。他特别指出荀派儒学对概念含义的“约定俗成”的思想和对学问“学有所止”的主张对《九章算术》编纂工作有重大影响。
1701097694
1701097695
其次，受儒家传统思想的束缚，《九章算术》没有突破“九数”的限制。这一方面使九章的分类不尽合理，有的按应用分类，有的按数学方法分类，标准不同一；另一方面，对当时提出的许多新问题，编纂者未能与时俱进，打破“九数”的格局，设置新的类别，而是将一些题目硬塞入衰分章和均输章，不伦不类。
1701097696
1701097697
第三，补入衰分章的非衰分类问题，均输章的非均输类问题，以及勾股章的解勾股形问题，未能抽象出普世性术文。我们估计，这一部分大约是张苍、耿寿昌等补充的。这与西汉时代人们的抽象思维能力远远低于战国有关。
1701097698
1701097699
（三）《九章算术》在中国和世界数学史上的地位
1701097700
1701097701
《九章算术》建立了中国和东方数学的基本框架。后来尽管产生了同余方程组、内插法和垛积招差等新的研究领域，但是，总的说来，中国传统数学是在《九章算术》的框架内发展的。《九章算术》历来被尊为算经之首，明清许多数学著作的标题都有“九章”或“九数”二字，或以“九数”分类。甚至在西方数学传入之后，还有人将以西方数学为主体的内容按“九数”分类，著书立说。
1701097702
1701097703
另一方面，为《九章算术》作注是中国传统数学著作的重要形式，成为中国传统数学成就的重要载体。其中成就最大的是魏刘徽的《九章算术注》，北宋贾宪的《黄帝九章算经细草》。它们分别奠定了魏晋南北朝与宋元两个数学高潮的基础。由此可见《九章算术》及其注释在中国传统数学史上无与伦比的地位。
1701097704
1701097705
《九章算术》还传到朝鲜、日本和东南亚，成为这些地区数学知识的源泉。《九章算术》在东方数学中的地位，大体相当于欧几里得《几何原本》在西方数学中的地位。《九章算术》与《几何原本》像两颗璀璨的明珠，在古代东西辉映。
1701097706
1701097707
《九章算术》的成书，标志着中国取代古希腊成为世界数学研究的重心，也标志着世界数学从研究空间形式为主，转变为以研究数量关系为主，标志着数学机械化算法体系取代数学公理化演绎体系成为世界数学发展中的主流。
1701097708
1701097709
上世纪90年代以后包括刘徽注、李淳风等注释在内的《九章算术》已被译成英、法文出版，受到国外数学史界的重视（中法对照本如图2.3所示）。
1701097710
1701097711
1701097712
1701097713
1701097714
二、刘徽《九章算术注》——中国传统数学理论的奠基
1701097715
1701097716
（一）刘徽及其《九章算术注》《海岛算经》
1701097717