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2．刘徽关于“率”的定义和性质
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刘徽在《九章算术》》方田章经分术注中提出了“率”的定义：
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凡数相与者谓之率。
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“相与”在这里是相关的意思。比率是最常见的率，但率的含义比比率宽泛得多。现在的数学术语以及英、法、拉丁、希腊等文字都找不到能与之对应的词。我们翻译法文版时只好用汉语拼音“lv”。刘徽进而提出了率的性质：
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凡所得率者，细则俱细，粗则俱粗，两数相抱而已。
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刘徽把分子和分母看成率关系。这与现代数学关于分数的定义基本一致。
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3．率是“算之纲纪”
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利用率的上述性质，可以对率进行各种变换．刘徽说：
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齐同之术要矣。错综度数，动之斯谐，其犹佩觿解结，无往而不理焉。约以聚之，乘以散之，齐同以通之，此其算之纲纪乎！
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刘徽将率的应用拓展到《九章算术》的大部分术文和200多个题目，不仅深入到各种算术问题，而且在面积、体积、勾股和测望问题中，以及方程术中都使用了率。率确实成为统率各种算法的纲纪。
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（三）无穷小分割方法和极限思想
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1．刘徽割圆术的主旨和求圆周率的程序
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刘徽的圆田术注即割圆术分两部分。第一部分是证明《九章算术》的圆面积公式“半周半径相乘得积步”。第二部分是求圆周率。
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《九章算术》提出了圆面积公式：
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半周半径相乘得积步。
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用现代符号写出，就是：
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其中S，L，r分别是圆面积、圆周长和半径。刘徽之前是以圆内接正六边形的周长作为圆周长，以圆内接正十二边形的面积作为圆面积，使用出入相补原理，推证这个公式的。刘徽认为，这种推证基于周三径一，因而实际上并没有严格证明圆面积公式，遂提出了使用极限思想和无穷小分割方法的证明方法，如图2.5所示。他说：
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又按：为图。以六觚之一面乘一弧半径，三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘一弧之半径，六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣。觚面之外，犹有余径。以面乘余径，则幂出弧表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径，觚而裁之，每辄自倍。故以半周乘半径而为圆幂。
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这是对《九章算术》圆面积公式（2-1）的一个完整的证明。刘徽首先使用了几个极限过程。如图2.6（a）、（b）所示，他从圆内接正六边形开始割圆。设第n次分割得到正6·2ⁿ
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边形的面积为Sn，刘徽认为
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