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同时,
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刘徽考虑与圆合体的正无穷多边形,将它分割成以圆心为顶点,以每边为底的无穷多个小等腰三角形,每个的高r,设每个的底边长l,面积为A,如图2.6(c)所示。显然rl=2A,所有这些小等腰三角形的底边之和为圆周长:∑l=L,它们的面积之和等于圆面积:∑A=S。因此,∑lr=Lr=∑2A=2S,故得到(2-1)式,完成了证明。
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刘徽指出,公式(2-1)中的周、径,是“至然之数”,不是周三径一,因此需要求其“至然之数”,即圆周率,从而提出了求圆周率近似值的程序(如图2.7所示)。
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他仍从直径为2尺的圆内接正六边形开始割圆,得到圆内接正12,24,48,96,192边形,援引勾股定理,计算出它们的边长以及正96边形的面积,正192边形的面积。刘徽求出差幂然后说:
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加此幂于九十六觚之幂,得三百一十四寸六百二十五分寸之一百六十,则出于圆之表矣。故还就一百九十二觚之全幂三百一十四寸以为圆幂之定率,而弃其余分。以半径一尺除圆幂,倍所得,六尺二寸八分,即周数。……令径二尺与周六尺二寸八分相约,周得一百五十七,径得五十,则其相与之率也。周率犹为微少也。
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刘徽由计算得出因此取314寸2作为圆面积的近似值。将这个近似值与半径1尺代入公式(2-1),求出圆周长的近似值6尺2寸8分。将圆的直径与周长相约,便得到圆周率十分明显,刘徽的割圆术,其主旨是证明《九章算术》的圆面积公式(2-1)。他求圆周率的方法,是以被他首先证明了的圆面积公式(2-1)为前提的。刘徽在证明公式(2-1)时用到了极限思想与无穷小分割方法,而在求圆周率时,并未用到极限思想和无穷小分割,只是极限思想在近似计算中的应用。刘徽的整个圆田术注,论点明确,论据充分,逻辑清晰,没有任何费解之处。
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2.刘徽原理和刘徽的多面体体积理论
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刘徽用极限思想和无穷小分割方法对刘徽原理的证明更加高明。一个长方体沿相对两棱剖开,就得到两个堑堵。将一个堑堵(如图2.8(c)所示)沿某个顶点到相对棱剖开,就得到一个阳马(如图2.8(a)所示),一个鳖腝(如图2.8(b)所示)。显然,阳马是直角四棱锥,鳖腝是四面皆为勾股形的四面体。《九章算术》给出了阳马的体积公式:
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又给出了鳖腝的体积公式:
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刘徽认识到,用传统的出入相补方法无法严格证明上述两个体积公式。他只好另辟蹊径。刘徽首先提出了一个重要原理:
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邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖腝。阳马居二,鳖腝居一,不易之率也。
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即在一个堑堵中,恒有
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