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吴文俊把它称为刘徽原理。显然，只要证明了刘徽原理，由于堑堵的体积公式，则（2-3），（2-4）两式是不言而喻的。
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刘徽用无穷小分割方法和极限思想证明了（2-5）式，如图2.9所示。他说：
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设为阳马为分内，鳖腝为分外。棋虽或随修短广狭，犹有此分常率知，殊形异体，亦同也者，以此而已。其使鳖腝广、袤、高各二尺，用堑堵、鳖腝之棋各二，皆用赤棋。又使阳马之广、袤、高各二尺，用立方之棋一，堑堵、阳马之棋各二，皆用黑棋。棋之赤、黑接为堑堵，广、袤、高各二尺。于是中攽其广、袤，又中分其高。令赤、黑堑堵各自适当一方，高一尺，方一尺，每二分鳖腝，则一阳马也。其余两端各积本体，合成一方焉。是为别种而方者率居三，通其体而方者率居一。虽方随棋改，而固有常然之势也。按：余数具而可知者有一、二分之别，即一、二之为率定矣。其于理也岂虚矣。若为数而穷之，置余广、袤、高之数各半之，则四分之三又可知也。半之称少，其余称细，至细曰微，微则无形，由是言之，安取余哉？
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刘徽用三个互相垂直的平面分别平分由阳马与鳖腝拼合而成的堑堵的长、宽、高，如图2.8（c）所示；那么，其中的阳马被分割成一个小长方体Ⅰ，两个小堑堵Ⅱ、Ⅲ，两个小阳马Ⅳ、Ⅴ，如图2.8（a）所示，鳖腝被分割成两个小堑堵Ⅱ′、Ⅲ′，两个小鳖腝Ⅳ′、Ⅴ′，如图2.8（b）所示。显然，小堑堵Ⅱ与Ⅱ′、Ⅲ与Ⅲ′可以分别拼合成与Ⅰ全等的小长方体。小阳马Ⅳ与小鳖腝Ⅳ′，小阳马Ⅴ与小鳖腝Ⅴ′可以分别拼合成两个与小堑堵Ⅱ、Ⅲ、Ⅱ′、Ⅲ′全等的小堑堵，它们又可以拼合成与Ⅰ全等的第4个小长方体。那么，在前三个小长方体Ⅰ、Ⅱ-Ⅱ′、Ⅲ-Ⅲ′中，属于阳马的和属于鳖腝的体积之比是2∶1，即在原堑堵的中（2-5）式成立。而在第4个小长方体中（2-5）式是否成立还未知。然而，第4个小长方体中的两个小堑堵与原堑堵完全相似，因此，上述分割过程完全可以继续在剩余的两个小堑堵中施行，那么又可以证明在其中的中（2-5）式成立，在其中的中尚未知，亦即在原堑堵的中尚未知。这个过程可以无限继续下去，第n次分割后只剩原堑堵的中（2-5）式是否成立尚未知。显然，这就在整个堑堵中证明了（2-5）式，即刘徽原理成立。
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刘徽原理是其多面体体积理论的基础。刘徽说：
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不有鳖腝，无以审阳马之数，不有阳马，无以知锥亭之类，功实之主也。
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刘徽认为，鳖腝是刘徽解决多面体体积问题的关键。刘徽为求方锥、方亭、刍甍、刍童、羡除等多面体的体积，都要通过有限次分割，将其分割成长方体、堑堵、阳马、鳖腝等已被证明了体积公式的立体，然后求其体积之和解决之。
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刘徽通过刘徽原理把多面体体积理论建立在无穷小分割基础上这种思想，与现代数学的体积理论惊人的一致。近代数学大师高斯提出了多面体体积的解决不借助于无穷小分割是不可能的猜想。以这个猜想为基础，希尔伯特在1900年提出了《数学问题》中的第3个问题。不久，希尔伯特的学生德恩给了肯定的答复。刘徽在公元三世纪就开始考虑19、20世纪数学大师们所考虑的问题。
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3．截面积原理
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《九章算术》是通过比较其底面积由体积已知的方体推知相应的圆体体积的。刘徽则更进了一步，他说：“上连无成不方，故方锥与阳马同实。”就是说，同底等高的方锥与阳马的每一层都是相等的方形，所以他们的体积相同。如图2.11所示。可见，刘徽实际上已经认识了祖暅之原理：“缘幂势既同，则积不容异。”此即后来西方的卡瓦列利原理。正因为如此，刘徽认识到《九章算术》开立圆术是错误的，设计了牟合方盖，如图2.12所示，为祖冲之父子指出了解决球体积的正确途经。
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（四）刘徽的逻辑思想和数学理论体系
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1．刘徽的定义
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刘徽继承了《墨经》给概念以定义的传统，给出了许多数学概念的严格定义。如关于“方程”即线性方程组的定义：
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程，课程也。群物总杂，各列有数，总言其实。令每行为率，二物者再程，三物者三程，皆如物数程之，并列列行，故谓之方程。
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这是发生性定义。
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值得指出的是，刘徽的定义一经给出，一般说来便在整个《九章算术注》中保持着同一性。
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2．刘徽的演绎逻辑