1701097902
1701097903
刘徽不仅使用了形式逻辑，而且主要使用了演绎推理。演绎推理的几种主要形式，刘徽几乎全都使用了。
1701097904
1701097905
盈不足术刘徽注针对两次假设有分数的情况说：
1701097906
1701097907
注云若两设有分者，齐其子，同其母。此问两设俱见零分，故齐其子，同其母。
1701097908
1701097909
就是说，如果两次假设有分数（M），须使分子相齐，分母相同（P）。这个问题（S）中两次假设都有分数（M），故这个问题（S）须使分子相齐，分母相同（P）。这个推理完全符合三段论的规则：
1701097910
1701097911
大前提 M——P （A）
1701097912
1701097913
小前提 S——M （A）
1701097914
1701097915
结 论 S——P （A）
1701097916
1701097917
其推理方式是AAA式。
1701097918
1701097919
1701097920
刘徽更多地使用关系推理。这是三段论的一种特殊情形。《九章算术》使用了错误的球体积公式其推导方式是：正方体与内切圆柱体的体积之比为4∶3，圆柱体与内切球的体积之比也是4∶3，故正方体与内切球的体积之比为16∶9。刘徽认为这是错误的，他用两个圆柱体正交，其公共部分称作牟合方盖：
1701097921
1701097922
按：合盖者，方率也，丸居其中，即圆率也。推此言之，谓夫圆囷为方率，岂不阙哉？
1701097923
1701097924
其推理方式是：
1701097925
1701097926
牟合方盖：球＝4∶π
1701097927
1701097928
圆柱：球≠牟合方盖：球
1701097929
1701097930
故 圆柱：球≠4∶π
1701097931
1701097932
这就从根本上推翻了《九章算术》的公式。刘徽没有能求出牟合方盖的体积，他表示：“欲陋形措意，惧失正理。敢不厥疑，以俟能言者。”表现了一个学者实事求是，寄希望于未来的远大胸怀。
1701097933
1701097934
3．刘徽的数学理论体系
1701097935
1701097936
早在1700多年前，刘徽就有了数学之树的思想，他说：
1701097937
1701097938
事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本知，发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。
1701097939
1701097940
刘徽的这株数学之树发自一端。这个端是什么呢？刘徽说：
1701097941
1701097942
虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方。至於以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难也。
1701097943
1701097944
这是说，世代相传的数学方法是客观世界的空间形式和数量关系的统一。规矩、度量可以看成刘徽的数学之树的根，如图2.13所示。数学方法由规矩、度量产生出来。这不仅反映了中国古代数学形数结合，几何问题与算术、代数密切结合的特点，而且与后来恩格斯的有关论述完全一致。恩格斯在《反杜林论》中说：
1701097945
1701097946
纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系。
1701097947
1701097948
1701097949
1701097950
1701097951
刘徽的数学体系是从《九章算术》发展起来的，它继承了《九章算术》全部正确的内容，又加以改造、补充，因而与《九章算术》有根本的不同。《九章算术》是以归纳逻辑为基础的，刘徽的《九章算术注》是以演绎逻辑为基础的。他的注没有任何逻辑矛盾而不能自洽的地方，可见他的逻辑水平之高。