打字猴:1.701105417e+09
1701105417 因此,该命题通过递归而成立。
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1701105419 乘法的定义。我们将用下述等式来定义乘法:
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1701105424 像等式(1)一样,等式(2)包含着无穷个定义;只要定义了a×1,就能使我们相继定义a×2,a×3等等。
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1701105426 乘法的特性——分配性。我说
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1701105428 (a+b)×c=(a×c)+(b×c).
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1701105430 我们用分析核验,该等式对c=1而言为真;其次,若该定理对c=γ为真,则它对c=γ+1亦为真。
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1701105432 因此,该命题通过递归而证明。
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1701105434 交换性。1°我说
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1701105436 a×1=1×a.
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1701105438 该定理对a=1而言是显而易见的。
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1701105440 我们用分析验证,若该定理对a=a为真,则它对a=a+1亦为真。
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1701105442 2°我说
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1701105444 a×b=b×a.
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1701105446 该定理对于b=1而言刚刚证明过了。我们可以用分析核验,若它对b=β为真,则它对b=β+1亦为真。
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1701105450 我在这里不再进行这种一连串单调的推理。但是,正是这种单调的东西,更清楚地把一致的、在每一步都要再次遇到的程序显示出来。
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1701105452 这种程序就是递归证明。我们首先针对n=1规定一个定理;然后我们证明,若该定理对n-1为真,则对n也为真,从而得出结论:它对所有的整数都为真。
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1701105454 我们刚才看到,如何可以用递归来证明加法法则和乘法法则,也就是代数计算法则;这种计算是变换的工具,它有助于形成更多的各种不同的组合,远非简单的三段论所能相比;但是,它依然是纯粹分析的工具,不能告诉我们任何新东西。如果数学没有其他工具,它就会因之即刻阻碍自己的发展;但是,它重新求助于同一程序,即求助于递归推理,从而它能够继续前进。
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1701105456 如果我们密切注视一下,我们在每一步都会再次遇到这种推理方式,它或者是以我们刚才给予它的简单形式出现的,或者是以或多或少修正了的形式出现的。
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1701105458 于是,我们在这里有了典型的数学推理,我们必须更为仔细地审查它。
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1701105462 递归推理的主要特征是,它包括无穷个三段论,可以说它浓缩在单一的公式中。
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1701105464 为了更清楚地看到这一点,我想依次陈述这些三段论,如果你容许我形容一下的话,它们就好像“多级瀑布”一样直泻而下。
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1701105466 这些当然是假设的三段论。
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