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定理对数1为真。
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现在，若它对1为真，则它对2亦为真。
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故它对2为真。
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现在，若它对2为真，则它对3亦为真。
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故它对3为真，如此等等。
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我们看到，每一个三段论的结论都是下一个三段论的小前提。
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而且，我们的所有三段论的大前提都能简化为单一的公式。
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若定理对n－1为真，则它对n亦为真。
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其次，我们看到，在递归推理中，我们仅限于陈述第一个三段论的小前提和把所有大前提作为特例包括进来的普遍公式。
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从而，这一连串永无休止的三段论就简化为几行短语。
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正如我上面已经说明的，现在很容易理解一个定理的每一个特定推论都能够用纯粹分析的程度来核验。
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如果我们不去证明我们的定理对于所有数为真，例如我们只希望证明它对6这个数为真，那么建立我们的多级瀑布的头五个三段论对我们来说就足够了；如果我们想针对数10证明该定理，那么只需要9个三段论；数越大，需要的三段论也就越多；然而，不管这个数多么大，我们总能达到目的，从而分析核验是可能的。
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可是，无论我们走得多么远，我们也无法上升到对于一切数都适用的普遍定理，而唯有普遍的定理，才是科学的目标。欲达此目的，需要无穷个三段论；这就必须跨越只局限于形式逻辑方法的分析家的忍耐力永远也无法填满的深渊。
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起初我曾问过，人们为什么不想象出一个神通广大的心智，一眼就洞察到整个数学真理的本质。
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现在很容易回答了；棋手能够预料四五步棋，不管他多么非凡，他也只能准备有限步棋；假使他把他的本领用于算术，他也不能凭借单一的直接直觉察觉算术的普遍真理；为了获得最微小的定理，他也不得不借助递归推理，因为这是能使我们从有限通向无限的工具。
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这个工具总是有用的，因为它容许我们像我们所希望的那样飞速跨越许多阶梯，它使我们省去冗长的、使人厌烦的和单调的核验，而这种核验会很快地变得不能实施。但是，只要我们以普遍的定理为目的，它就变得必不可少了，而分析的核验虽则可以使我们不断地接近这一目的，却永远无法使我们达到它。
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在算术这个领域，我们可以认为我们自己距微积分十分遥远，然而，正如我们刚刚看到的，数学无限的观念已经起着举足轻重的作用，没有它便没有科学，因为在那里没有普遍的东西。
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Ⅵ
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递归推理所依据的判断能够处于其他形式之下；例如，我们可以说，在不同整数的无限个集合中，总存在着一个比所有其他数都小的数。
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我们能够很容易地从一个阐述推到另一个阐述，由此便产生已经证明过递归推理的合法性的幻觉。但是，我们总会受到阻碍，我们总会达到不可证明的公理，而这个公理实际上只不过是有待证明的、翻译成另一种语言的命题罢了。
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因此，我们无法摆脱这样一个结论：递归推理的法则不能划归为矛盾律。
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对我们来说，这个法则也不能来自经验；经验能够告诉我们，该法则对头十个数或头一百个数为真；例如，它不能到达无限系列的数，而只能到达这个系列的一部分，不管该部分或长或短，但总是有限的。
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现在，假若只是那样一个问题，则矛盾律也就足够了；它总会容许我们展开像我们所希望的那么多的三段论；只有在把无限个三段论包括在单一的公式中时，只有在无限面前时，矛盾律才会失效，也就是在那里，经验变得软弱无力。这个法则是分析证明和经验难以得到的，它是先验综合判断的真正类型。另一方面，我们也不能企图在它之内像在几何学的某些公设中那样看见约定。
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可是，这种判断为什么以不可遏止之势迫使我们服从呢？那是因为，它只是证实了心智的威力，心智知道，它本身能够想象得出，只要这种行为一次是可能的，同样的行为就可以无限期地重复下去。心智对这种威力有一种直接的直觉，而经验只不过是为利用它、并进而变得意识到它提供机会。
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但是，有人会问，如果未加工的经验不能证明递归推理的合法性，那么借助于归纳的实验也是这样吗？我们陆续看到，一个定理对1，2，3等数为真；我们说，这个规律是明显的，它像每一个基于为数很多、但却是有限的观察的物理学定律一样，有着相同的根据。
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