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考虑任何两个感觉的集合。或者我们能够把它们一一辨别开来，或者我们不能辨别，正像在费希纳实验中那样，10克的重物能够与12克的重物区别开来，但不能与11克的重物区别。这就是为构造多维连续统所需要的一切。
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让我们把这些感觉集合中的一个集合称为一个元素。这类似于数学家的点；不过也不是完全相同的东西。我们不能说我们的元素没有广延，由于我们无法把它与邻近的元素加以区别，从而它犹如被一种烟雾包围着。假如可以容许用天文学作比，那么我们的“元素”也许像星云，而数学点则像恒星。
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这已得到承认，如果我们借助于每一个元素都与前一个可以区分的相继元素的系列，能够从它们中的任何一个到达另一个，那么元素的系统将形成一个连续统。这种线性系列就是数学家的线，而孤立的元素则是点。
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在进一步之前，我们必须解释所谓截量意味着什么。考虑一个连续统C，并从中取出它的某些元素，我们暂时将认为这些元素不再属于这个连续统。如此取出的元素的集合将被称之为截量。于是便发生了下述情况：由于这个截量，C可以再分为许多不同的连续统，留下的元素的集合不再形成唯一的连续统。
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于是，在C上将有两个元素A和B，必须认为它们属于两个不同的连续统，而且人们将承认这一点，因为不可能找到C的相继元素的线性系列，这些第一个是A而最后一个是B的元素中的每一个都与前一个不可区分，这个系列中的元素之一不能与截量中的元素之一区分开来。
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相反地，也可能出现这样的情况：所做出的截量不足以再分割连续统C。为了对物理连续统进行分类，我们将严格地审查，为了再分它们必须做出的截量是什么。
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如果一个物理连续统C能够被一个截量再分，而这个截量可以划归为都可以相互区分的有限数目的元素（从而既不形成一个连续统，也不形成几个连续统），那么我们将说C是一维连续统。
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相反地，如果C只能被本身是连续统的截量再分，我们便说C有多维。如果是一维连续统的截量就能够再分，我们便说C有两维；如果是两维连续统的截量就足以再分，我们便说C有三维，如此等等。
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这样一来，由于两个感觉集合是可区分的或不可区分的这一十分简单的事实，便定义了多维物理连续统的概念。
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多维数学连续统。通过完全类似于我们在本章开头所讨论的过程，n维数学连续统的概念由此十分自然地涌现出来。你知道，这种连续统的点在我们看来好像是用称之为其坐标的n个不同的量的系统来定义的。
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这些量并不需要总是可测量的；例如，有一种与测量这些量无关的几何学的分支，在这种几何学中，例如需要了解的问题只是，在曲线ABC上，点B是否在点A和点C之间，而不需要了解弧AB是等于弧BC呢，还是比弧BC大一倍呢。这就是所谓的拓扑学。
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这是一门完整的学说，它吸引了绝大多数几何学家的注意力，我们从中看到，一系列值得注意的定理一个从另一个里涌现出来。这些定理与通常的几何学的定理的不同之处在于，它们纯粹是定性的，即使图形被拙劣的绘图员画得严重歪曲了比例，由于颤抖而把直线画得多少有些弯曲，这些定理依然为真。
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由于我们希望接着把测量引入刚刚定义的连续统，于是这个连续统变为空间，几何学诞生了。但对此的讨论留在第二编。
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〔1〕以及包括在特殊约定中的推理，这些约定适合于定义加法，我将在后面谈到它们。
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科学与假设 第二编 空间
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第三章 非欧几何学
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每一个结论假定先有前提；这些前提本身或者是自明的而不需要证明，或者只能依赖其他命题而建立，鉴于我们不能这样追溯到无穷，每一门演绎科学，尤其是几何学，必须以某一数目的不可证明的公理为基础。因此，有关几何学的论著，都是以陈述这些公理开始的。不过，在这些公理中，也要有所区分：例如，“等于同一量的一些量彼此相等”就不是几何学命题，而是分析命题。我认为它们是先验分析判断，我不愿去理会它们。
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可是，我必须强调几何学所特有的其他公理。大多数专著中都明确地陈述了这三个公理：
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1°通过两点只能作一条直线；
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2°直线是一点到另一点的最短的路径；
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3°通过一给定点只能引一条直线与已知直线平行。
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一般地，虽然第二个公理的证明被省略了，但是从其他两个公理以及从许多默认而没有阐述它们的公理中，可以把它演绎出来，我将进一步说明这一点。
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人们长期以来也想证明第三个公理，即所谓的欧几里得公设，但总是白费气力。人们为这一幻想的期望耗费了多么巨大的精力啊，其情景真是令人不可思议。最后，在19世纪头25年，几乎在同一时期，匈牙利的鲍耶（Bolyai）和俄国的罗巴契夫斯基无可辩驳地指出，这种证明是不可能的；他们几乎使我们摆脱了“无公设”的几何学的发明家；从此以后，法国科学院每年仅收到一两篇新证明的论文。
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