1701105783
1701105784
问题并没有结束；不久，由于黎曼（Riemann）发表了题为《几何学的基本假设》的著名论文，问题才获得了巨大进展。这篇论文引出了许多新近的著作，我将进一步谈论它们，在这些著作中，引用一下贝尔特拉米（Beltrami）和亥姆霍兹（Helmholtz）的著作是合适的。
1701105785
1701105786
鲍耶-罗巴契夫斯基几何学。假如可以从其他公理导出欧几里得公设，那么显而易见，在否定该公设和承认其他公理时，我们便会导致出矛盾的推论；因此，不可能在这样的前提上建立融贯的几何学。
1701105787
1701105788
现在，这恰恰是罗巴契夫斯基所做的事情。
1701105789
1701105790
他开始假定：通过一给定点能够引两条与已知直线平行的直线。
1701105791
1701105792
此外，他仍保留了欧几里得的所有其他公理。从这些假设出发，他演绎出一系列定理，在其中不可能找到任何矛盾，而且他构造出一种几何学，其完美无缺的逻辑绝不亚于欧几里得几何学的逻辑。
1701105793
1701105794
当然，这些定理与我们习用的定理截然不同，乍看起来，它们不能不使人们稍感困惑。
1701105795
1701105796
例如，三角形的三个角之和总是小于两直角，这个和和两直角之差与三角形的曲面成比例。
1701105797
1701105798
不可能构造一个与已知图形相似、但具有不同维度的图形。
1701105799
1701105800
如果我们把圆周分为n等分，并在各分点引切线，若圆的半径足够小，则这n个切线将形成一个多边形；可是，若这个半径足够大，则它们将不相交。
1701105801
1701105802
多举这些例子是无用的；罗巴契夫斯基的命题与欧几里得的命题毫不相干，但它们在逻辑上却是相互密切关联的。
1701105803
1701105804
黎曼几何学。设想一个唯一地由没有厚度（高度）的生物栖息的世界；并假定这些“无限扁平”的动物都在同一平面而不能离开。此外，还要承认这个世界距其他世界足够远，以致摆脱了那些世界的影响。当我们正在做假设时，我们不妨再赋予这些生物以理性，并相信它们能够创造几何学。在此情况下，它们将肯定认为空间只有两维。
1701105805
1701105806
不过，现在假定，这些想象的动物虽则依然没有厚度，但它的体形却是球形的而不是平面形的，它们都在同一球上，没有能力走出去。它们将构造什么几何学呢？首先，很清楚，它们将认为空间只有两维；对他们来说，起直线作用的将是球面上一点到另一点的最短路径，即大圆弧；一句话，它们的几何学将是球面几何。
1701105807
1701105808
它们所谓的空间将是它们必须停留于其上的这个球面，在这个球面上，发生着它们能够了解的一切现象。因此，它们的空间将是无界的，因为在一个球面上人们总是能够一直向前而永远也不会停下来，不过它们的空间将是有限的；人们从来也不能找到它的终点，但却可以绕它转圈子。
1701105809
1701105810
好了，黎曼几何学是扩展到三维的球面几何。为了构造它，这位德国数学家不仅不得不抛弃欧几里得公设，而且也不得不抛弃第一个公理：通过两点只能做一条直线。
1701105811
1701105812
一般地讲，在球面上，通过两已知点我们只能引一个大圆（正如我们刚才看到的，对于我们想象的生物来说，这种大圆可以起直线的作用）；但是也有例外：若两已知点在对径上，则通过它们能引无数个大圆。
1701105813
1701105814
同样地，在黎曼几何学（至少在它的各种形式之一）中，通过两点一般只能引一条直线；但是也有例外情况，即通过两点能引无数条直线。
1701105815
1701105816
在黎曼几何学和罗巴契夫斯基几何学之间存在着某种对立的东西。
1701105817
1701105818
例如，三角形的角之和是：
1701105819
1701105820
在欧几里得几何学中等于两直角；
1701105821
1701105822
在罗巴契夫斯基几何学中小于两直角；
1701105823
1701105824
在黎曼几何学中大于两直角。
1701105825
1701105826
通过一给定点能够引与已知直线共面但无论在什么地方也不与之相交的直线数是：
1701105827
1701105828
在欧几里得几何学中等于1；
1701105829
1701105830
在黎曼几何学中等于0；
1701105831
1701105832
在罗巴契夫斯基几何学中等于无限。
[
上一页 ]
[ :1.701105783e+09 ]
[
下一页 ]