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我们能够想象这些透视图，由于它们只有三维。
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试设想一下同一客体的各个透视图依次相继出现，从一个到另一个的转换伴随着肌肉感觉。
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当这些转换中的两个与相同的肌肉感觉联系时，我们当然要把二者看做是两个相同性质的操作。
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其次，没有什么东西妨碍我们设想，这些操作按照我们选择的任何定律结合，例如为了形成一个与四维刚体运动具有同一结构的群。
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在这里，没有什么是不可图示的，但是，这些感觉恰恰是那些具有二维视网膜又能在四维空间里运动的生物所感受到的感觉。在这种意义上，我们可以说，第四维是可以想象的。
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按这样的方式，不可能表示我们在前一章讲过的希尔伯特空间，因为这个空间已不是二维连续统。所以，它与我们平常的空间大相径庭。
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结论。我们看到，在几何学的起源中，经验起着必不可少的作用；但是，如果由此得出几何学是——即使部分地是——实验科学的结论，那可就错了。
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假如几何学是实验科学，那它只能是近似的和暂定的。多么粗糙的近似啊！
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几何学只可能是研究固体的运动；但是实际上，它并不是用来从事天然固体的研究，它把某些绝对刚性的理想固体作为对象，这些理想固体只不过是天然固体的一种简化的和相差很远的图像。
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这些理想固体的概念来自我们心智的所有构成要素，经验只不过是导致我们从这些构成要素中产生这一概念的诱因。
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几何学的对象是研究特殊的“群”；不过，一般的群概念在我们的心智预先存在着，至少是潜在地存在着。它不是作为我们感性（sense）的形式，而是作为我们知性（understanding）的形式强加给我们。
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在所有可能的群中，必须选择出的可以说只是标准的群，我们将把自然现象提交给它。
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在这一选择中，经验指导我们，而没有把它强加给我们；经验没有告诉我们哪一个是最真实的几何学，而是告诉我们哪一个是最方便的几何学。
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要注意，我没有放弃使用通常几何学的语言，也能描述上面设想的奇异的世界。
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事实上，即使我们迁移到那个世界，我们也不必改变语言。
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在那里受教育的生物无疑会发现，创造一种不同于我们的、更好地适应它们印象的几何学是比较方便的。至于我们，面对同一印象，可以肯定地说，我们会发现不改变我们的习惯是比较方便的。
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科学与假设 第五章 经验和几何学
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1．在前文中，我已经花了大量时间力图证明，几何学原理不是实验的事实，尤其是欧几里得的公设不能用实验来证明。
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不管已经给出的理由在我看来是多么具有决定性，我认为还应该强调这一点，因为在这里，虚假的观念在许多人的头脑中是根深蒂固的。
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2．如果我们用材料制作一个圆圈，测量它的半径和周长，并看到这两个长度之比等于π，那么我们想做什么呢？我们想做我们用来制造这个圆形东西的物质的特性的实验，以及用来制造量尺的物质的特性的实验。
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3．几何学和天文学。问题也可以以另一种方式提出。如果罗巴契夫斯基几何学是真实的，那么十分遥远的恒星的视差将是有限的；如果黎曼几何学是真实的，视差将是负的。这些似乎是在实验所及的范围内的结果，可以期望，天文观察能使我们在三种几何学之间做出抉择。
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但是，在天文学中，直线只是意味着光线的路径。
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因此，如果发现了负视差，或者证明了一切视差都大于某一极限，那么两条道路向我们敞开着；我们既可以放弃欧几里得几何学，也可以修正光学定律，假定光严格说来不是以直线传播的。
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