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因而，这是一个重要的结果，即该性质不仅对对数为真，而且对任何连续函数也为真，由于每一个连续函数的导数都是有限的。
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如果我预先确定了这个结果，首先是因为我就其他连续函数常常观察到类似的事实；其次，是因为我在心里以或多或少的无意识的和不完善的方式做过推理，这种推理能使我得出前面的不等式，正如一位娴熟的演算能手，在做完乘法之前，总能考虑到它大约是多少了。
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此外，由于我所谓的我的直觉只不过是真实推理片断的不完善的概要，这就明白了观察为何能确认我的预见，客观概率为何与主观概率一致。
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我将选择下述问题作为第三个例子：随便取一个数u，n是一个给定的很大的整数。Sin nu的概值（probable value）是什么？这个问题独自毫无意义。为了使它有意义，就需要约定。我们将公认，数u处在a和a＋da之间的概率等于φ（a）da；因此，它与无限小区间da成比例，而且等于这个区间与仅依赖于a的函数φ（a）之积。至于这个函数，我可以任意选择它，但是我必须假定它是连续的。当u增加2π时，Sin nu的值依然相同，因此我可以在不失去普遍性的情况下设想，u处在0与2π之间，这样我便有可能假定，φ（a）是周期函数，其周期是2π。
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所求的概值可以方便地用单积分表示，很容易证明，这个积分小于
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2πMk/nk，
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Mk是φ（u）的k阶导数的极大值。于是我们看到，如果k阶导数是有限的，那么当n无限增加时，我们的概值将趋于0，而且比1/nk-1更快地趋于0。
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因此，当n很大时，Sin nu的概值是零。要定义这个值，我需要约定；但是，无论约定可能是什么，其结果总是相同的。在假定函数φ（a）是连续的和周期的时，我只是给我自己强加了很少的限制，这些假设是如此自然，以致我们可以自问，如何能够避免它们。
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通过对前述三个在各方面如此不同的例子的审查，已经使我们一方面瞥见到哲学家所谓的充足理由律是什么，另一方面瞥见到对所有连续函数都是共同的某些性质这一事实的重要性。研究物理科学中的概率将导致我们得到同一结果。
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Ⅲ．物理科学中的概率。我现在来到与我们所谓的第二级无知有关的问题上，也就是说，在这些问题中，我们知道定律，但不知道系统的初始状态。我能增加许多例子，但只想举一个。在黄道带上，小行星目前可能的分布如何？
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我知道它们服从开普勒定律。我们甚至根本不用改变问题的性质就可以假定，它们的轨道都是圆的，并且处在同一平面上，我们知道这个平面。另一方面，谈到它们的初始分布，我们却一无所知。不过，我们却毫不犹豫地断定，它们的分布现在几乎是均匀的。为什么呢？
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设b是小行星在初始时刻的黄经，也就是说，初始时刻是零。设a是它的平均运动。它在目前时刻，即在t时刻的黄经将是at＋b。说目前的分布是均匀的，也就是说at＋b的倍数的正弦和余弦之平均值是零。为什么我们肯定这一点呢？
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让我们用平面上的一点来代表每一个小行星，也就是说，用其坐标恰恰是a和b的点来代表。这一切表示点将被包括在该平面的某一区域内，但是当点很多时，这个区域看来好像布满了点。关于这些点的分布，我们一无所知。
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当我们想把概率演算用于这样的问题时，我们怎么办呢？在该平面的某一部分可以找到一个或多个表示点的概率是多少？由于我们无知，我们只好做任意的假设。为了说明这个假设的性质，请容许我利用粗糙的但却是具体的图像，以代替数学公式。让我们设想，在我们平面的表面上，铺一层虚构的实物，其密度是可变的，但却是连续地变化的。然后我们一致说，在该平面一部分上找到表示点的概数（probable number）与在那里找到的虚构的物质之量成比例。因此，如果我们在该平面上有相同范围的两个区域，那么在这一区域或那一区域找到一个小行星的表示点的概率将与在这一区域或那一区域虚构物质的平均密度彼此一样。
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于是，这里有两种分布：一种是实在的，其中表示点很多、十分密集，但却像原子假设中的物质分子一样是离散的；另一种远离实在，其中我们的表示点被连续的虚构物质代替。我们知道，后者不能是实在的，但是我们的无知迫使我们采纳它。
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倘若我们还有关于表示点的真实分布的某些观念的话，我们就可以这样排列它，使得在某范围的一个区域中，这种虚构的连续物质的密度几乎与表示点的数目成比例，或者，如果你愿意的话，也可以说与包括在那个区域中的原子数成比例。甚至这也是不可能的，我们的无知太厉害了，以致我们被迫任意选择函数，来定义我们的虚构物质的密度。我们将只受我们几乎不能避免的假设的限制，我们可以假定这个函数是连续的。正如我们将要看到的，这能够充分地使我们得出结论。
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小行星在时刻t的概然分布是什么？或者确切地讲，黄经在时刻t的正弦，即Sin（at＋b）的概值是多少？起初我们做出了任意的约定，但是我们若采用它，则这个概值就完全确定了。把平面分成面元。考虑Sin（at＋b）在每一个面元中心的值；把这个值乘以面元的面积和虚构物质的相应密度。然后，取该平面所有面元之和。按照定义，这个和将是我们所求的平均概值，它是用二重积分表示的。人们乍看起来可能认为，平均值取决于定义虚构物质密度的函数的选择，由于这个函数φ是任意的，按照我们所做的任意选择，我们能够得到任何平均值。但这并非如此。
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简单的演算表明，当t增加时，我们的二重积分急剧地减小。因此，我完全无法告诉，关于这个或那个初始分布的概率，我们能做什么假设；但是，不论作什么假设，结果将是相同的，这使我摆脱了我的困难。
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无论函数φ是什么，当t增加时，则平均值趋于零，而且由于小行星肯定已完成了极大次数的旋转，所以我可以断言，这平均值是很小的。
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我可以像我希望的那样选择φ，不过总有一个限制：这个函数必须是连续的；而且，事实上，从主观概率的观点来看，选择非连续函数也许是不合理的。例如，我会有什么理由假定，初始黄经必须严格为0°，而不能处在0°和1°之间呢？
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但是，如果我们采用主观概率的观点，如果我们从我们设想的虚构物质是连续的分布过渡到我们的表示点在其中仿佛形成分立的原子那样的真实分布，那么困难就出现了。
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Sin（at＋b）的平均值将十分简单地用
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来表示，n是小行星的数目。作为与连续函数有关的二重积分的替代，我们将有离散项之和。可是，没有人会认真地怀疑，这个平均值实际上是很小的。
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