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由于表示点十分密集，我们的离散和一般来说与积分的差异将是极其微小的。
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当离散项的数目无限增加时，积分就是这些项之和趋近的极限。如果项很多，和与它的极限相差也很小，也就是说，与积分相差很小，我就积分所说的话对于和本身而言还将为真。
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然而也有例外。例如，对于一切小行星来说，如果
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那么所有行星在时间t的黄经总是π/2，其平均值显然等于1。为使情况如此，在时刻0时，也许有必要让小行星都处在特殊形状的螺旋上，这个螺旋的螺纹是十分密集的。每一个人将承认，这样的初始分布是极为不可能的（而且，即使假定它实现了，这种分布在目前，例如在1900年1月1日，也不会是均匀的，但是在几年后，它却会变均匀）。
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可是，我们为什么认为这种初始分布不可能呢？这是必须说明的，因为我们若没有理由把这个怪诞的假设作为不可能的而加以拒绝，那么一切都会毁坏的，而且我们再也不能就某个目前分布的概率做出任何断言了。
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我们将再次求助充足理由律，我们总是必须重新提起它。我们应该承认，开始时行星几乎分布在一条直线上。我们应该承认，它们是不规则分布的。但是，在我们看来，似乎没有充足的理由认为，某种未知的原因引起它们沿着如此规则却又如此复杂的曲线运行，这仿佛是特意如此选择的，从而使得目前的分布不可能均匀。
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Ⅳ．红与黑。像轮盘赌这样的机遇游戏所产生的问题，基本上与我刚才论述的问题完全类似。例如，把一个轮盘分为极多的红黑相间的等分。用力使指针旋转，在转了许多圈之后，它停在这些分格之一上。这个分格是红的概率显然是1/2。指针旋转的角度为θ，且包括几个整圈。用这样的力转动指针，使这个角度必须处于θ与θ＋dθ之间，我不知道其概率是多少；但是，我能够做出约定。我可以假定，这个概率是φ（θ）dθ。至于函数φ（θ），我能够以完全任意的方式选择它。在我选择时，没有什么东西能够指导我，但是我自然地被导致假定这个函数是连续的。
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设ε是每一个红分格和黑分格的长度（在半径为1的圆周上测量）。我们必须计算φ（θ）dθ的积分，一方面把它扩大到所有红分格，另一方面把它扩大到所有黑分格，并把结果进行比较。
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考虑区间2ε，它包括红分格和接着它的黑分格。设M和m是函数φ（θ）在这个区间的最大值和最小值。扩大到红分格的积分将小于∑Mε；扩大到黑分格的积分将大于∑mε；因此，二者之差将小于∑（M－m）ε。但是，如果假定函数θ是连续的；此外，如果区间ε相对于指针旋转过的总角度来说很小，那么差M－m将是很小的。因此，两个积分之差将很小，概率将十分接近1/2。
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我们看到，在对函数θ一无所知的情况下，我必须像概率是1/2那样去行动。另一方面，如果我使自己站在客观的观点上观察若干次，那么我理解，为什么观察使我得到红的次数与黑的次数大约一样多。
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所有的赌博者都知道这个客观规律；但它却使他们陷入了值得注意的错误之中，这种错误虽则常常被揭露出来，但他们总是一再堕入其中。例如，当红的连赢六次时，他们押在黑的上，以为他们这回准胜；他们说，因为红的连赢七次是十分稀少的。
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实际上，他们获胜的概率依然是1/2。的确，观察表明，七个接连红的系列是十分稀少的，但是六个红接着一个黑的系列同样是十分稀少的。
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他们注意到七个红的系列是罕有的；如果他们没有看到六个红和一个黑的稀罕，那只是因为这样的系列没有引起注意。
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Ⅴ．原因概率。现在我们开始谈谈原因概率问题，从科学应用的观点来看，这是最重要的问题。例如，两个恒星在天球上十分接近。这种表观的接近仅仅是偶然性的结果吗？这些恒星虽然几乎在同一视线上，但它们处在与地球极其不同的距离、从而相互之间十分遥远吗？或者，这种表观的接近也许与实际的接近是一致的？这是原因概率的问题。
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我首先想起，在迄今我们关注的结果概率的所有问题开始，我们总是必须做出或多或少被证明是合理的约定。在大多数个案中，如果结果在某种程度上不依赖于这个约定，这仅仅是因为某些假设容许我们先验地排除不连续函数，或者比如说，排除某些荒谬的约定。
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当我们处理原因概率时，我们将会发现某些类似的东西。一个结果可以由原因A或原因B产生。该结果刚刚被观察到了。我们要问它由原因A产生的概率。这是后验的原因概率。但是，如果没有或多或少被证明是合理的约定预先告诉我，原因A开始起作用的先验的概率是多少，那么我就不能计算后验的原因概率；我意指对于某个没有观察到该结果的人而言的这个事件的概率。
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为了说明得更清楚，我回到上面提到的玩纸牌游戏的例子。我的对手首先发牌，他翻出王。他是骗子的概率是多少？通常讲授的公式给出8/9，结果显然是相当令人惊奇的。如果我比较仔细地检查一下结果，那么我会看到，这个演算仿佛在我坐到桌旁之前就做过了，我已经认为在两次机会中有一次我的对手是不诚实的。这是一个荒谬的假设，因为在此种情况下我肯定不会和他玩了，这便说明了结论的荒谬性。
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关于先验概率的约定是不合理的，这就是为什么后验概率演算把我引向不能容许的结果。我们看到这个预备约定的重要性。我甚至还想补充说，如果不做预备约定，后验概率问题便毫无意义。预备约定总是必须做出的，或者直截了当地做出，或者不言而喻地做出。
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再举一个更有科学特点的例子。我想决定一个实验定律。当我了解这个定律时，它能够用曲线来描绘。我做了若干孤立的观察；其中每一个将用一点来表示。当我得到这些不同的点时，我在它们之间引一条曲线，尽可能使曲线靠近它们，可还是保持曲线的规则形状，没有角点，或者没有太急剧的弯曲，或者曲率半径没有突然的变化。在我看来，这个曲线将表示概然定律，我不仅假定它将告诉我在所观察到的值之间的中间函数值，而且假定它将给我比直接观察更精确的观察值。这就是我使曲线通过点的附近而不通过点本身的原因。
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这里有原因概率的问题。结果是我记录的测量；这些结果取决于下述两个原因的组合：现象的真实定律和观察的误差。知道了结果，我们必须寻求现象服从这个或那个定律的概率以及观察受这个或那个误差影响的概率。于是，最概然定律对应于所画的曲线，而最概然的观察误差则由相应点与这个曲线的距离来表示。
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但是，在任何观察之前，如果我没有形成某一定律的概率的先验观念以及我所面临的误差偶然性的先验观念，那么这个问题将毫无意义。
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如果我的仪器是好的（而且我在做观察前已了解这一点），我将不容许我的曲线与表示初步测量的点偏离得太多。如果仪器不好，我可以使曲线离点稍远一些，以便得到弯曲较少的曲线；我将较多地牺牲规则性。
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那么我为什么企图画一条没有曲折的曲线呢？这是因为，我先验地认为定律是用连续函数（或用其高阶导数是很小的函数）表示的，这种定律比不满足这些条件的定律更可能。没有这个信念，我们所谈的问题就没有意义；内插法就是不可能的；从有限数目的观察中无法推导出定律；科学便不会存在了。
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50年前，物理学家认为，在其他情况相同时，简单的定律比复杂的定律更可能。他们甚至求助于这个原则来袒护马略特定律，反驳勒尼奥（Regnault）实验。今天，他们拒斥这个信念；可是，有多少次他们被迫像他们持有这个信念一样地去行动！不管情况怎样，这种倾向遗留下来的是对于连续性的信念，我们刚才看到，假如这个信念本身不得不消失的话，实验科学就变得不可能了。