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阿那克萨哥拉在某些方面提出了比前辈们更为精确的理论，至少有一些线索可以说明他试图努力获得虚空的概念。尽管他常常想使理性成为一种非物质因素，但他似乎做得不大成功。和恩培多克勒一样，他最终也未能实现对巴门尼德的根本性批判，然而，他的无限可分设想却在解释世界由什么构成方面标志着新的进步。尽管这离“无限可分性属于空间”的认识还有一段距离，而这段路程是留给原子论者来完成的。
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我们要是想像阿那克萨哥拉是一位无神论者，那就错了，但他的神灵观念是哲学性的，与雅典的国教并不一致。正是这种非正统观点使他受到了不敬神的指控，因为他把神与理性（一切运动的原动力）等同起来。这样的观点必然会引起政府的关注和不满，因为它很自然地对现有仪式活动的价值提出了质疑，因而在这方面触犯了政府的权威。
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我们也许永远也不会知道为什么毕达哥拉斯和他的学派在公元前510年被驱逐出克罗顿。不过我们能够看出学派在什么地方可能与正直的公民们发生冲突，要知道，毕达哥拉斯确实在干预政治，正如希腊哲学家们习惯的那样。尽管总的来说，很多人对哲学家持一种宽容和漠不关心的态度，但当他们提出批评意见时，显然搅乱了职业政治的局面。最让统治者恼火的是哲学家暗示他们其实并不像自己以为的那样聪明。克罗顿人无疑正是出于这样的原因，烧毁了毕达哥拉斯的学校，但是，为此而焚烧学校或人的行为恰恰证明了他们对非正统观念的无奈。灾难的结局虽然是原来的学校被毁，但是这些非正统观念却使那些返回希腊的幸存者们的活动更加广为人知。
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我们已经知道，爱利亚学派的创始人最初是毕达哥拉斯学派的一名追随者。后来，爱利亚哲学家芝诺对毕达哥拉斯数字论进行了破坏性攻击。因此，了解这种理论的内容是十分重要的。
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◎无限可分的图形，不可能存在有限或无尺寸的终级单元。
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数被认为是由单元构成，单元又由点来表示，点则具有空间度，这种观点是说，一个单元会占据一个位置，即它具有某些度，无论是什么样的度。这种数的理论在处理有理数时是很有效的，因为总是可以以这种方式选择一个有理数作为单元，任何一个有理数都是单元的整倍数。但是，当我们遇到无理数时，这种理论就失灵了。无理数是无法用这种方法测量的。值得注意的是，“无理”是从希腊语译过来的词，它的本义是“不可测量”，而不是“没有理性”。为了克服这种困难，毕达哥拉斯冥思苦想，发明了一种用连续的近似值找出这些难以捉摸的数字的方法。我们在前面说到过这种连分数的解释。在这种数列中，我们可以通过递减数的量，使近似值大于或小于精确值，但是在本质上，这个过程是无限的。无理数的目标是这个过程的极限。这种观点使我们能够像接近极限一样，获得有理数的近似值。这一特性实际上与现代极限的解释是一致的。因此，数的理论可以按照这些方法设计出来，但是离散数与连续量之间的根本混淆被单元的概念掩盖了。这一点直到毕达哥拉斯将此理论应用于几何学时才暴露出来。其中有哪些难题，我们将在讨论芝诺的批判时读到。
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毕达哥拉斯在数学方面的另一主要遗产是他的理念论。后来，苏格拉底吸收和进一步发展了这一理论。如果柏拉图的话可信，那么这种理论也受到了爱利亚学派的有效批判。我们已经初步知道了这种理论的数学起源。拿毕达哥拉斯的定理来说，要想绝对精确地画出一个直角三角形，并在它的每个边画出正方形，然后测量它们的面积，这完全是徒劳。就算画得再精确，也不可能完全精确，实际上永远也做不到这一点。这样的图形是不能证明其定理的，因为要想证明它，我们需要有一个不能被画出来、而只能被想像的完全精确的图形。任何实际的图形必然在一定程度上忠实地反映了我们脑子里的图像，这就成了理念论的一个包袱，也成了晚期毕达哥拉斯学说中著名的一部分。
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我们已经知道毕达哥拉斯是怎样从调和弦的发现中提出和谐原则的。在这个基础上，他还提出了健康就是对立面之间的某种平衡的医学理论。后期毕达哥拉斯学派进一步发展了这一理论，并将和谐概念应用于灵魂，按照这种观点，灵魂是肉体的一种和谐。这样，灵魂就成了肉体有序状态下才具有的一种功能。如果肉体组织坏掉，肉体分解，灵魂也就随之消失。我们可以把灵魂看做某件乐器上张开的弦，将肉体看做安装弦的骨架。如果骨架遭到破坏，那么弦就会松弛，失去和谐。这种观点和早期毕达哥拉斯学派在这个问题上的概念有所不同：毕达哥拉斯似乎相信灵魂的轮回，而其后来的信徒们却认为灵魂必会像肉体一样消亡。
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在天文学方面，后期毕达哥拉斯学派提出了一个十分大胆的假说。根据这个假说，世界的中心不是地球，而是一团作为中心的火，地球是围绕这团火转的一颗行星。不过我们看不见这团火，因为我们所处的地球这一面始终背向该中心。他们认为太阳也是一颗行星，它的光芒是对中心火的反射。这个假说向着后来亚里斯塔克提出的“日心说”迈进了一大步。但是，毕达哥拉斯学派提出的理论在形式上却存在着如此多的难点，以至于亚里士多德又重新坚持地球是平面的观点。由于亚里士多德在其他问题上的权威，这个观点竟然取代了正确的观点，在后来的时代里盛行，而该理论的来源却被人们遗忘了。
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在事物构成理论的发展上，毕达哥拉斯看到了许多早期思想家所忽视或误解的一个特征，那就是虚空的概念。如果没有虚空，则不可能对运动做出满意的解释。在这方面，后来的亚里士多德再一次退步，他认为“自然憎恨虚空”。而原子论者则认为，我们必须寻找物理学理论发展的真实脉络。
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◎完美的三角形是画不出来的，只能用心灵的眼睛才能看到。
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同时，毕达哥拉斯学派试图吸收恩培多克勒所取得的成就。当然，他们的数学观不允许他们把这些元素当做终极元素。于是他们达成了一种妥协，这就奠定了物质构成的数学理论基础。现在，他们认为元素是由规则的、立体状的粒子构成的。在柏拉图的《泰缪斯篇》中，这一理论得到了进一步的发展。“元素”一词本身很可能就是由后期毕达哥拉斯学派的思想家们创造出来的。
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在这方面，任何一位唯物主义者也不曾对巴门尼德的批判做出过完全令人满意的应战努力。不管爱利亚学说本身有什么样的缺陷，事实依然存在着，仅仅增加基本物质的种类是无法找到解决办法的。巴门尼德的信徒们提出的一系列论据，强有力地说明了这一点。他们中最重要的一位哲学家就是爱利亚的芝诺，他大约生于公元前490年，是巴门尼德的同乡和追随者。我们除了知道他对政治感兴趣，还知道一个重要的事实，就是他和巴门尼德曾经在雅典会晤过苏格拉底。这是柏拉图说的，我们没有理由怀疑他。
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前面已经说过，爱利亚学说产生了一个令人吃惊的结论，因而很多人都在试图弥补这种唯物论。芝诺试图论证，如果爱利亚学说都违背了常理的话，那么其他声称能够打破这一僵局的理论只能产生更加奇怪的难题。芝诺没有直接为巴门尼德辩护，而是使对手陷入自相矛盾的境地。他从对手的假设入手，运用演绎论证法来证明对手的假设里包含了不可能的结论，从而表明这样的假设无法成立，在事实上予以推翻。
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这种论证法和我们讨论阿那克西曼德的进化论时提到的归谬法很相似，但有一个重要的不同。一般归谬法会这样论证：既然结论在事实上错了，那么必然有一个前提在事实上也错了。
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在另一方面，芝诺试图证明，从一个给定的假设中，人们可以推出两个相互矛盾的结论，也就是说这些结论不仅在事实上不真实，而且也不可能。因而他论证说，产生这种结论的假设本身也是不可能的。这种论证法不用在结论和事实之间作任何比较就可以进行下去。从这个意义说，它在问与答的范围内是纯粹辩证的。芝诺是第一次系统地运用了辩证法的人，而辩证法在哲学中具有非常重要的作用。苏格拉底和柏拉图从爱利亚学说中继承了它，并按各自的方式加以发展。正是从那时起，辩证法在哲学中占据了显著的地位。
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芝诺的论证主要是为了颠覆毕达哥拉斯的单元概念。与此相关的是，他还提出了否定虚空和否定运动可能性的论证。
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我们先看一看他是如何论证单元概念的谬误性的。芝诺说：任何存在的事物必然具有某种量值。如果完全没有量值，它就不可能存在。同样，事物的每一部分也具有一定量值。他还继续提出，这种说法一时或一直都是正确的。这是一种介绍无限可分性的简单办法；不能说任何部分是最小的，否则，事物那么多，这些部分将不得不在同时既是大的又是小的。实际上，它们必须小得没有尺寸，因为无限可分性表明了事物的部分是无限多的，这就要求单元没有量值，因而所有单元的总和也没有量值。但同时，单元又必须有某种量值，因此事物的大也是无限的。
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这个论证很重要，它表明毕达哥拉斯数的理论在几何学中失败了。如果我们在考虑一条线，那么按照毕达哥拉斯的理论，我们应该能说出线里面存在着多少个单元。显然，如果我们用无限可分性来假设，单元理论立即就会瓦解。同时，我们还应该知道很重要的一点，就是它并不是证明了毕达哥拉斯的错误，而是证明了不能同时既接受单元理论又接受无限可分性；换言之，它们是不相容的，必须抛弃其中一个——由于数学需要有无限可分性，所以毕达哥拉斯的单元理论必须抛弃。另一个值得注意的问题就是归谬法本身。一个有意义的单一命题是不会产生不相容的直接结论的，只有当它和别的命题结合在一起时，才可能产生矛盾。这就是说，在两个不同的论证中，当其中一个的附加命题与另一个的附加命题不相容时，矛盾才会产生。现在，我们就有两个论证：第一，事物是很多的，单元没有大小，因而事物没有大小；第二，事物是很多的，单元有大小，因而事物在尺寸上是无限的。两个不相容的附加前提就是：单元没有大小和单元有一定大小。显然，在任何一种解释中，结论都将是荒谬的。因为每个论证的前提都有错误，错的正是毕达哥拉斯的单元理论。
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为了替巴门尼德反对虚空的理论进行辩护，芝诺提出了一个新的论证：如果真的存在空间的话，那它必然包含在什么东西里面；这只能意味着还有更多的空间，由此类推，多到无穷。但是芝诺并不甘愿接受这种“退步”，于是他得出一个结论：不存在空间。这实际上是否定了“空间是一个空容器”的观点。按照芝诺的观点，我们绝不可能把物体和它所处的空间区分开来。显然，容器理论与巴门尼德的球体理论是相抵触的。因为，假设世界是一个有限的球体，那么就意味着它存在于虚空之中。芝诺在此试图维护老师的理论，但令人怀疑的是，当他谈到一个有限的球体时，如果球体之外什么也没有，那他的话是否还有意义呢？
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