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这种可以一再重复的论证叫“无限回归”，它并不总是引出矛盾的结论，事实上，现在已经没有人反对这样的观点了：任何空间都是更大空间的一部分。对芝诺来说，之所以会出现矛盾，是因为他想当然地认为“存在是有限的”，因此他才会陷入这种“谬误性的无限回归”。
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◎芝诺否认了无限的空间，因为，如果空间包含着地球，那么什么又包含着空间呢？
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实际上，这种谬误性的回归论证就是某种形式的归谬法，它揭示了论证的基础与别的某个真命题是不相容的。
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芝诺最著名的论证就是关于运动的四个悖论，其中最重要的是阿喀琉斯与乌龟的故事。在这里，他再一次间接地为巴门尼德的理论做了辩护。但由于他们自己的理论也无法解释运动，于是他把失败推给了毕达哥拉斯学派，让他们去寻找更好的解决办法。他的论证是这样的：如果阿喀琉斯与乌龟赛跑，那么他永远也不可能超过对手。假设乌龟在跑道上先跑一段距离，那么当阿喀琉斯跑到乌龟的起点时，乌龟将跑到更前面的某个位置；而当阿喀琉斯追到那个新位置时，乌龟又跑到了稍前一点的某个位置。这样，每当阿喀琉斯接近乌龟的前一位置时，这个讨厌的小家伙又已经跑到前面去了。
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当然，阿喀琉斯会离乌龟越来越近，但他永远也不可能超过它。我们应该知道，芝诺的论证是直接针对毕达哥拉斯学派的。因此他利用了该学派的假设，即一条线是由很多单元或点组成的。这就等于说，无论乌龟跑得多慢，它在赛跑前就已经跑了一段无限长的距离。这是另一种论证方式，前提就是事物在尺寸上是无限的。
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尽管我们不难发现这个结论的错误之处，但很显然，作为毕达哥拉斯单元理论的反对意见，他的论证是无懈可击的。我们只有抛弃了单元观点，才能提出一个显示该结论错在哪里的无限级数理论。比如，一个级数里包含了许多个以某个常数递减的项，就像比赛中各连续路程的长度一样，我们可以由此算出阿喀琉斯将在什么地方追上乌龟。我们把这样一个级数之和定义为某个数，无论有多少个项，无论项有多大，它们的总和都绝不会超过级数之和。但是，如果有足够多、足够大的项相加，那么它们的和就会越来越接近级数之和。对一个给定的级数来说，我们无需证明就可以指出，必定有一个，而且只有一个这样的数。赛跑中涉及的这种级数就是几何级数。今天，任何熟悉初级数学的人都能够处理好这个问题。但我们不要忘了，正是由于芝诺的批判性工作，才使充分的连续量理论有了发展的可能；该理论是和数的基础，如今对我们来说却像孩子的游戏一样简单了。
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◎阿苦里斯与乌龟。
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◎当处于起跑劣势的阿基里斯到达乌龟的位置时，乌龟已经又向跑了一段距离，如此下去，以至无穷。
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芝诺的另一个悖论（有时被称为“跑道论”）揭示了辩证攻击的另一面。论证是这样的：我们绝不可能从跑道的一边跨到另一边去，因为这意味着我们必须在有限的时间内越过无限多的点。说得更明了一些，就是我们在到达任何一点之前，必须先到达半个点的位置，由此类推，没有穷尽。因此，我们永远也不可能起跑。这一论证，加上阿喀琉斯与乌龟的论证，表明了已经起跑的人永远也不可能停下来，从而推翻了一条线上包含着无限多单元的假说。
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通过假设一条线包含着有限的单元来进行弥补。我们先以三条长度相等的平行线为例，它们都由同样多的有限的单元构成。让其中一条在原地不动，另外两条则以相同的速度向相反方向移动。通过这种方式，当两条移动的线经过静止的那条线时，三条线并排在一起。两条移动线之间的相对速度是任意一条移动线与静止线之间相对速度的两倍。现在，根据进一步的假设来论证，即时间和空间都是由许多单元构成的，那么通过计量在给定时间内经过某一给定点的距离点数，就可以计算出速度来。当一条移动线经过静止线长度的一半时，它就经过了另一条移动线的全长。因此，后一时间就是前一时间的两倍。但是，为了到达相互并列的位置，两条移动线得花同样的时间。于是两条移动线的速度似乎是它们实际移动速度的两倍。这个论证有点复杂，因为我们通常不是从距离上，而是从时间上考虑速度的。但它确实是对单元理论的极为合理的批判。
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最后是有关飞矢的悖论。飞行中的箭在任何时候所占的空间都和它自身体积相等，因此它是静止的，而且是永远静止的。这就是说运动甚至不可能开始，但前一个悖论说的却是运动总要比实际速度快。芝诺正是用这一论证否定了毕达哥拉斯的离散数量理论，并为连续量理论打下了基础，这也正是维护巴门尼德连续球体理论所必须做的。
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◎如果距离和时间由单元构成，那么中间一行就立刻以两种不同的速度移动。
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爱利亚学派另一位重要哲学家是萨摩斯的梅里苏斯，他和芝诺是同时代的人。关于他的生平，我们只知道他是萨摩斯起义时期的一位将军，在公元前441年打败了一支雅典舰队。梅里苏斯对巴门尼德理论的一个重要方面进行了修正。我们知道，芝诺为了维护老师的尊严，不得不一再坚持否认虚空。但是，把存在说成是一个有限的球体，也是不可能的。因为这暗示着球体之外还有别的什么东西，或者说还存在着虚空。一旦否认了虚空，我们将被迫把物质世界看成在所有方向上都是无限的。这就是梅里苏斯得出的结论。
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梅里苏斯在为爱利亚学派的“太一”理论作辩护时，几乎预见到了原子论。他辩论说，假如事物是很多的，那么每一事物本身必定像巴门尼德的“太一”一样。因为任何事物都不可能形成或消亡，所以惟一可以成立的理论就是把巴门尼德的球体分解成许多小球体，这样，很多事物才能产生，而这正是原子论者至今仍在继续进行的课题。
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芝诺的辩证法主要是破坏性地攻击了毕达哥拉斯的观点，同时也为苏格拉底的辩证法，特别是为我们后面将遇到的假说方法奠定了基础。而且，他首次针对某个具体问题，系统地运用了严密的论证。爱利亚学派可能对毕达哥拉斯的数学深有研究，因而他们希望在该领域看到这种方法得到应用。遗憾的是，很少有人知道希腊数学家们分析时所用的实际方法。但是显然，公元前5世纪后半叶数学的迅猛发展，与论证的既定原则的出现有关。
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我们怎样才能从根本上解释这个变化无常的世界呢？显然，解释的真正本质是它自身的基础不能变化无常。最早提出这个问题的是早期的米利都学派，我们已经了解到，后来的学派逐渐对这个问题进行了修正。后来，另一位米利都派哲学家对此作了最后的回答，他就是留基伯。我们除了知道他被誉为“原子论之父”外，不知道他还有哪些重要成就。原子论是爱利亚学说的直接产物，梅里苏斯几乎是偶然间发现它的。
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留基伯的理论在“一”和“多”之间达成了妥协。他采用无数粒子作为组成部分的概念，每个粒子都具有巴门尼德球体的特征：坚固、立体、不可再分。这就是“原子”，就是那些不可分割的东西。它们总是在虚空里运动着。所有原子的成分都被假设为相同，但在形态上可以有所不同。所说的这些粒子不可分割的特性，是指无法用物理手段将它们分解，它们所占的空间在数学上当然可以无限地分割下去。我们之所以无法用普通方法看见原子，是因为它们极其微小。现在，我们可以对事物的形成和变化进行解释了，正是由于原子的种种重新组合，世界才有永远变化的一面。
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如果原子论者们使用巴门尼德的语言，那他们就不得不说“不存在”和“存在”同样真实。换言之，空间之类的东西是存在的。至于那究竟是什么，就不好说了。我认为在这方面，今天的人们并不比古希腊人进步了多少。我们真正有信心说出的一切就是，在某种意义上，几何学是适用于虚空的。唯物主义早期的困难正是在于他们坚持认为万物应该是有形的。巴门尼德也许是惟一对虚空概念有清晰认识的人，当然，他否认了虚空的存在。同时，必须了解的是，“不存在的是存在的”在希腊语里并不等于措辞上自相矛盾。以下事实就是线索：在希腊语中，有两个表示“不”的词，一个是范畴性的，如陈述句“我不喜欢……”；另一个是假设性的，用以表示命令、愿望等等。这个假设性的“不”出现在爱利亚人的短语“不存在”里面。要是范畴性的“不”用在“不存在的是存在的”这句话里，当然就会使人莫名其妙。由于英语里没有这种区别，因此难免要在这里说一些题外话。
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人们经常会问，古希腊人的原子论是通过观察得出的呢，还是黑暗中的意外收获？他们除了哲学上的沉思以外，有没有做别的基础工作？这个问题的答案不像我们想像的那么简单。一方面，正如上面所说，原子论显然是常识与爱利亚学说之间惟一可行的妥协，爱利亚理论是对早期唯物主义的逻辑批判。另一方面，留基伯是一位米利都人，熟知其伟大同胞及前辈们的各种理论。他自己的宇宙论就说明了这一点，因为他并没有追随毕达哥拉斯学派，而是接受了阿那克西曼德早期的观点。
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