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阿基米德是运用这种计算方法的最著名的数学家，他不仅在数学领域有非凡的成就，而且还是一位杰出的物理学家和工程师。他住在锡腊库札，普卢塔克说他曾不止一次凭借其技巧，帮助该城阻止了敌军的进攻。但罗马人最终征服了整个西西里和锡腊库札。锡腊库札于公元前212年陷落，阿基米德在洗劫中惨遭杀害。传说他正忙着在自家花园的一块沙地上计算某个几何题时，一个罗马士兵刺死了他。
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阿基米德求抛物线和圆的面积时运用了“穷尽法”。对于抛物线，他用一系列（无限多）逐渐缩小的三角形来和它内接，最终推导出一个精确的数值公式。对于圆，答案就取决于数值，也就是圆周与直径之比。由于它不是一个有理数，所以用“穷尽法”就可以算出其近似值。通过内接和外切正多边形（其边数不断增多），我们可以越来越接近圆周。内接多边形的周长总会小于圆的周长，而外切多边形的周长则总是大于圆的周长。不过随着多边形边数的增加，两者的差值就会越来越小。
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◎阿基米德用“穷尽法”（积分学的先驱）求抛物线的面积
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亚历山大的阿波罗尼是公元前3世纪另一位伟大的数学家，他创造了圆锥曲线理论。在这里，我们又看到了一个推翻特殊假说的明显例子。因为现在看上去，一对直线、一条抛物线、椭圆形、双曲线和圆都是作为同一个东西（即圆锥截面）的特殊形态出现的。
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◎埃拉托色尼发现了地球的周长：从位于天顶的太阳以及同一子午线上任何一点与之形成的角。度得出答案。
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在其他科学领域，希腊最惊人的成就可能在天文学方面。其中某些成就，我们在谈论几位哲学家时已经提到过。这个时期最令人吃惊的成就是日心说理论的发现。萨摩斯的阿里斯塔克（和欧几里得、阿波罗尼同时代）似乎是第一个对此观点进行了完整、详尽解释的人，尽管在公元前4世纪末，阿卡德米也有可能提出过这一观点。但无论如何，阿基米德向我们提供了可靠的证明，阿里斯塔克确实持有这样的理论。我们还发现普卢塔克也提到过它。日心说的主要意思是：地球、行星和其他星星一起围绕太阳运转，而太阳本身则保持固定不动；地球在其轨道上运行的同时还绕着自己的轴心自转。阿卡德米的赫拉克利特早在公元前4世纪就已经知道，地球每天绕着自己的轴心旋转一圈；而黄赤交角则是公元前5世纪发现的，所以，阿里斯塔克的理论绝不是什么全新的发明。但在当时，这种敢于背离常识的做法会招来某些反对，甚至是敌视。应该承认，甚至有一些哲学家也表示反对，不过他们可能主要是从伦理方面考虑的。因为，如果说地球不再是万物的中心，那么原有的道德标准必然会遭到瓦解。斯多葛派的哲学家克雷安德甚至要求希腊人指控阿里斯塔克犯有渎神罪。有时候，关于日月星辰的偏激观点会像政治中的非正统观念一样带来危险。在遭到激烈反对之后，阿里斯塔克再提到自己的见解时，似乎就有些犹豫和胆怯了。在另一个著名的场合，当伽利略赞同哥白尼的理论时，地球运动的观点再次扰乱了宗教感情。我们应该注意到，哥白尼实际上只是复兴或再现了萨摩斯天文学家的理论而已。阿里斯塔克的名字被哥白尼写在了某篇手稿的旁注里，这就证明此事是确凿无疑的，至于太阳系中天体的相对大小和距离，其研究结果并不是同样的成功。对太阳和地球之间距离的估计大约是实际距离的一半；而月亮和地球之间的距离却计算得相当准确；估算出的地球直径则比实际数字小了五十英里，这一功绩应归功于埃拉托色尼，他是亚历山大的一位图书馆专家，也是一位敏锐的科学观察家。为了确定地球的周长，他选择了几乎位于同一子午线上的两个观测点，其中一个是北回归线上的希恩，这里的中午，太阳就位于天空的正上方，太阳的位置是通过它在一口深井中的映象观测到的；另一个点在亚历山大北边四百英里处，它只需确定太阳的角度，通过测量一个方尖塔的最短的影子就能轻易做到。人们从这个结论中要推算出地球的周长和直径并不难。
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这种知识的大部分很快就被人遗忘了，其主要原因是它不符合当时的宗教偏见。这就不难理解为什么连一些哲学家也在这方面犯错误了，因为这种新天文学使斯多葛运动的伦理学说面临着被颠覆的危险。保持中立的观察家倾向于认为，由于新天文学理论证明了斯多葛主义并不是好的学说，所以应当推翻它。但这种理想是无法实现的，那些观点受到批驳的人是不会轻易放弃其立场的。既坚信某种观点，同时又保持超然的态度，这种能力是最为罕见的一种天赋。哲学家和科学家比其他人更为努力地培养自己的这种能力，尽管最终他们并不一定做得比别人更好。这种态度非常适合数学研究，许多大哲学家同时也是数学家，这绝非偶然。关于数学，最后也许还有一点值得强调，除了问题的简单性与结构的明确性，数学还为美的创造提供了一定的范围。
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希腊人的确具有非常敏锐的美学意识。今天所使用的“美学”这一术语是由18世纪的德国哲学家鲍姆加通最先提出来的。不管怎样，当济慈说“真即是美”的时候，他所表达的是一种纯粹的希腊概念。当一位柏拉图派学者考虑某个希腊茶壶的几何比例时，他也许正好会有这样的感受。数学证明本身的结构也是这样。在这一领域中，“典雅”与“节约”等概念都是符合美学原则的。
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西方的智慧 第四章 希腊化时代
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公元前5世纪初希腊人还在抵御波斯人的入侵，然而到了公元前4世纪，波斯帝国就只是一个泥脚巨人了。因为色诺芬已经证实，一小支训练有素、指挥得法的希腊部队，即便是在波斯本土也能守住阵地，反抗波斯帝国的强权。
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◎亚历山大帝国的广大版图
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在亚历山大大帝的率领下，希腊世界开始转守为攻了。短短十年间（公元前334年至公元前324年），波斯帝国就为这位年轻的马其顿国王所征服。从希腊到大夏，从尼罗河到印度河，世界突然处于亚历山大的个人统治之下。尽管在希腊人看来，他是一位马其顿的最高统治者，但他却把自己视为希腊文明的传播者，事实证明他也的确如此。他不仅是一位征服者，也是一位殖民者。他的大军每到一个地方，都要按照希腊模式建立起一些城市。在这些主要实行希腊生活方式的城市里，土著希腊人或马其顿定居者都将与当地人融为一体。亚历山大鼓励马其顿臣民与亚洲妇女通婚，而且他自己也是这样做的，他娶了两位波斯公主为王妃。
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亚历山大的帝国作为一个国家，寿命并不长。他死后，他的将军们最终把领土分为三部分。欧洲部分或安提哥尼帝国在100多年后落到了罗马人手中。亚洲部分或塞留西王国被分为两份，西部为罗马人所接管，东部则为帕提亚及其他民族所占据；托勒密统治下的埃及为奥古斯都所掌握，成为罗马帝国的一部分。尽管如此，但马其顿作为希腊文化的传播者，其征讨还是十分成功的。希腊文明几乎是源源不断地涌入了东方。希腊语成了世界各地文明人士的语言，并且很快发展为贸易和商业上的通用语，就像近几十年来英语的扩张一样。公元前200年左右，操希腊语的人们可以从海格立斯（大力神）石柱一直走到恒河。
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◎希腊的风格对东方文明产生的影响
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从此，希腊的科学、哲学，最早则是它的艺术，渐渐影响了古老的东方文明。铸币、花瓶、建筑和雕刻的遗迹以及影响不那么明显的文学，都是这场文化入侵的证据。相应地，东方也对西方产生了新的影响。不过这种影响多少有些落后，因为在那个时期，最让希腊人着迷的似乎只是巴比伦的占星术。因此，尽管科学技术有了进一步发展，但希腊化时代比古典时代更为迷信。即便是在我们这个时代，同样的事情也会再度发生。在我年轻的时候，占星术只是极少数不正常的狂热分子热衷的东西，而今天，这种迷信的影响力却大得惊人，以至于蛊惑了那些掌握着大众报纸的人去开辟专栏讨论星相问题。也许这不值得大惊小怪，因为在罗马人到来之前，整个希腊化时代都是失控、动荡和危险的。冲突各方的雇佣军都会不时地骚扰乡村。亚历山大所建立的新城市缺乏旧殖民地的政治稳定性，后者与它们的宗主城邦有着传统的联系。从总体上来说，希腊化时代是缺乏安全感的。强大的帝国已崩溃，后继者们又在不停地争夺最高的霸权，这样一来，人们就必然会深感世事变化无常了。
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