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如果设定两个前提都是否定的，一个是全称的，一个是特称的，那么，从这样的前提中得不出任何结论。但与以前一样，通过转换就可以得到。
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但是，如果两个前提都是不定的或特称的，三段论也不能成立；因为A必然既属于所有B，又不属于任何B。可说明谓项属于主项的词项是：动物——人——白色的；可说明谓项不属于主项的词项是：马——人——白色的。“白色的”是中词。
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【21】如果一个前提表示实然，另一个前提表示或然，那么，结论将是或然的，而不是实然的。三段论将从与前例中相同的词项排列中推出。首先，设定前提是肯定的，让A属于所有C，B可能属于所有C，则通过BC的换位，我们就能得到第一格。结论是，A可能属于某个B；因为我们已经知道[73]，在第一格中，当一个前提是或然的时，结论也是或然的。如果BC是实然的，AC是或然的，或者如果AC是否定的，BC是肯定的，其中有一个是实然的，那么，在这两种情况下，结论都是或然的。因为我们再次获得了第一格，并且已经证明，当一个前提是或然的时，结论也是或然的。但是，如果设定小前提是或然否定的，或者两个前提都是否定的，则从它们之中得不出三段论。但与以前一样，通过换位就可以得到三段论。
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如果一个前提是全称的，另一个是特称的，当两个前提都为肯定的时，或者当全称前提是否定的，特称前提是肯定的时，三段论将以同样方式产生，因为所有的结论都是通过第一格得到的。因此，很显然，结论将是或然的，而不是实然的。但是，如果肯定前提是全称的，否定前提是特称的时，则证明将通过归谬法而进行。设定B属于所有C，A可能不属于某个C，那么必然可以推出，A可能不属于某个B。如果A必然属于所有B，B仍然属于所有C，则A必然属于所有C（这在以前已经被证明了[74]）。但已经设定，它可能不属于有些C。
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如果设定两个前提都是不定的，或者都是特称的，则三段论不能成立。证明的方式与全称三段论一样，并根据相同的词项。
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【22】如果一个前提是必然的，另一个前提是可能的，当它们都为肯定时，则结论始终是可能的。但当它们一个肯定，一个否定时，如果肯定前提是必然的，则结论是或然否定的及实然否定的。没有必然否定的结论，正如在其他格中也没有一样。
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首先，设定前提都是肯定的，A必然属于所有C，B可能属于所有C。由于A必然属于所有C，C可能属于某个B，则A也在或然的意义上而不是在实然的意义上属于某个B，这是从第一格中得出的结果[75]。如果设定前提BC是必然的，AC是可能的，则证明也相同。
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再者，设定一个前提是肯定的，另一个前提是否定的，肯定前提是必然的；让A可能不属于任何C，B必然属于所有C。这样，我们就再次获得了第一格，否定的前提具有可能的意义。因此，很显然，结论是或然的；因为当词项在第一格中具有这样的联系时，结论也是或然的。
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但是，如若否定前提是必然的，那么结论将不仅是特称或然否定，而且是特称实然否定。设定A必然不属于C，B可能属于所有C。这样，肯定前提BC的转换将产生第一格，并且否定前提是必然的。但是，我们知道，当前提具有这样的联系时，就可以推出，不仅A可能不属于某个C，而且实在是不属于某个C；所以，也必定能推出：A不属于某个B。但是，当小前提是否定的时，如果它是可能的，则与以前一样通过前提的替换就可得到三段论；如果它是必然的，35则三段论不能成立。因为A既必然属于所有B又可能不属于所有B。可为前一种联系作例子的词项是：睡——睡着的马——人；可为后一种联系作例子的词项是：睡——醒着的马——人。
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如果一个词项是全称的，另一个词项与中词有特称联系，则同样的原则亦适用。如果两个前提都是肯定的，则结论是或然的而不是实然的。当一个前提是否定的，另一个前提是肯定的，肯定前提是必然的时，结论亦相同。但是，当否定前提是必然的时，结论则是实然否定的。无论前提是全称的还是非全称的，证明的形式都一样。因为三段论必定通过第一格而完成，所以它们的结果必定与以前的例子一样[76]。如果小前提是全称否定的，如果它是或然的，则通过换位可以得到一个三段论；但如果它是必然的，则三段论不能成立。证明的方式与全称三段论一样，并可以运用相同的词项。
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这样，我们就清楚了，在这个格中，什么时候、在什么条件下三段论能成立。它什么时候是或然的，什么时候是实然的。显然，在这个格中，三段论都是不完善的，它们是通过第一格完成的。
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【23】从上面的分析中，我们已经清楚地看到，在这些格中的三段论是通过第一格中的全称三段论完成的，并且可以还原于它们。所有的三段论都不例外。当我们证明每个三段论都通过这些格中的某一格而产生时，这将变得十分清楚。
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一切证明，所有三段论都必须要么在全称的意义上，要么在特称的意义上，证实某一属性属于或不属于某一主项。证明必定要么是直接的，要么是基于假设的。有一类基于假设的证明是根据归谬法而作出的。我们首先讨论直接证明：当我们证明了决定它们的条件时，通过归谬法所作出的证明以及一般的基于假设的证明就都清楚了。
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如果要求推论谓项A属于还是不属于主项B，那么我们必须确定某一谓项表述某一主项。如果我们设定A表述B，那么我们就犯了“预期理由”的错误。如果我们设定A表述C，而C却不表述任何词项，没有其他词项作它的谓项，也没有其他词项表述A，则三段论不能成立；一个词项表述另一个词项，从这一设定中得不出必然的结论。因而，我们还必须设定另一个前提。
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如果我们断定，A表述另一个词项，另一个词项表述A，还有一个词项表述C，则没有什么阻止三段论的产生；但如果它是从这些设定中推出的，那就与B无关。再者，如果C与另一个词项相联，它又与第三个词项相联，后一个词项还与第四个词项相联，而这个系列不与B相联，在这种情况下，我们就得不到关于B的三段论。因为我们已经说过[77]，除非设定一个中词存在，它以某种方式通过谓项与其他每一个词项相联系，否则我们便得不到任何三段论，证明一个词项表述另一个词项。因为所有三段论都是从前提中推出的。与一个既定词项相联的三段论是从与那个词项相联的前提中推出的；证明一个词项与另一个词项的联系的三段论是通过陈述一个词项与另一个词项的联系的前提而获得的。但是，如果我们既不对B肯定，又不对它否定，则不可能获得一个与B相联系的前提，也不可能获得一个表示A与B的关系的三段论，如若我们找不到对两者都相同的事物，而只是肯定或否定了它们每一个的特有属性的话。所以，如果要使证明一个词项与另一个词项的联系的三段论能成立，我们就必须采用与两者相联的中词，它能把各种指谓联系在一起。
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所以，我们必须采用与两者都相联系的共同词项。这有三种方法，即以A表述C，以C表述B；或以C表述A、B两者；或以A、B两者表述C。这就是已经论述过的格。很显然，每个三段论都必定是通过这三个格中的一格而产生的，如果A通过几个中词与B相联系，则结论亦相同，因为无论中词是一个还是多个，格总是一样的。
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很显然，直接证明是通过已经论述过的格而进行的，归谬法的证明也同样是通过它们而进行的。我们在下面将清楚地看到这一点。每个运用归谬法进行证明的人都通过三段论证明结论的虚假，并且当一个不可能的结论从所设定的相矛盾命题中推出时，根据假设，证实原来所讨论之点。例如，一个人要证明正方形的对角线不能为边所通约，就要首先断定，如果它是可以通约的，则奇数就可以与偶数相等。这样，他就推出结论，即奇数变得与偶数相等。由于其矛盾命题产生了虚假的结论，所以，他根据假设证实对角线是不可通约的。我们看到，用归谬法进行推论即是证明，根据原来的设定，某种结论是不可能的。所以，在归谬法中，我们用一个直接证明的三段论获得虚假的结论（所讨论之点是根据假设证明的）。我们在上面已经说过，直接证明的三段论是通过这些格而产生的，所以很显然，归谬法的三段论也可以通过这些格而得出。同样的论断适用于其他一切基于假设的证明，因为在每种情况中，三段论都导向被替换的命题，达到所要求的结论的途径是同意其他某个设定。但如果这是真实的，那么，一切证明、一切三段论都可以通过已经论述过的格而产生。证明了这一点以后，那就很清楚，每个三段论都是通过第一格完成的，并且可以还原为第一格中的全称三段论。
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【24】在每个三段论中，一个前提必须是肯定的并且必须有一个全称前提。如果没有全称前提，那就要么三段论不能成立，要么结论与设定无关，要么犯“预期理由”的错误。设定我们要证明音乐的快乐是好的。那么，如果我们设定“快乐”是好的，除非把“所有”加在“快乐”之上，否则三段论便不能成立。如果我们设定有些快乐是好的，那么如果它们是与音乐的快乐不同的，则与原来的设定无关；如果它是相同的快乐，则就是“预期理由”。
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在几何学定理中可以更清楚地看到这一点。我们取“与等腰三角形底边相连的内角相等”这一定理为例。向圆心画直线A和B。如果你断定了∠AC=∠BD，却没有普遍地断定半圆中的三角形相等；再者，如果你断定了∠C=∠D，却没有确定同一切割部分中的所有角相等，此外，如果你断定当相等的角从全部角中减去时，剩余的角E和F相等，那么，除非你断定“当相等从相等者中减去时，剩余者相等”，不然就要犯“预期理由”的错误。
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所以，很显然，每个三段论必须有全称前提。只有当所有前提都是全称的时，才能证明全称的结论；但无论前提是全称的还是非全称的，都可以证明特称的结论。所以，如果结论是全称的，则前提必定是全称的；但如果前提是全称的，结论也可能不是全称的。同样清楚的是，在每个三段论中，两个前提或者至少有一个前提必须与结论相同；所谓“相同”，不仅是指在肯定或否定方面，而且是指在必然、实然、或然方面。我们还必须讨论其他指谓形式。
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不过，总的说来，我们已经很清楚，三段论在什么时候能够成立，在什么时候不能够成立，在什么时候是完善的。如果三段论能成立，则词项之间的联系必定与已经讨论过的三种方式之一相同。
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【25】可见，每个证明都是通过三个词项，而且只能是通过三个词项得到的——除非同样的结论通过不同的词项排列而得到。例如，E既是从命题A和B，从C和D，又是从命题A和B、A和C及B和C得到结论的（因为没有什么阻止在相同的词项间存在几个中词）。但在这种情况下，就不止有一个而是有几个三段论。再如，命题A和B中的每一个都可以通过三段论得到（例如A通过D与E，B通过F与G），或者一个是通过归纳，另一个是通过三段论得到的。但是在这里又有几个三段论，因为有几个结论，如A、B以及C。如果设定三段论不是几个而只有一个，那么，同样的结论可以通过三个词项而达到，但不可能像C通过A与B而达到的那样。设定E是通过前提A、B、C和D而达到的结论。这样，就必须确定其中一个与另一个的联系，正如整体与部分的关系一样；因为我们在前面已经证明，如果三段论能成立，那么词项间必定具有这样的联系[78]。设定A与B具有这样的联系。那么从这些前提中就可得出某一结论：要么是E，或是命题C与D中的某一个，或是除此而外的其他命题。如果它是E，那么三段论仅从A与B就可以推出。并且如果C和D的联系如同整体对部分一样，则从这些前提中也能得出某一结论：或是E，或是A或B中的一个，或是除它们而外的东西。如果它是E或命题A和B中的一个，则要么有几个三段论，要么可以推出，同一结论可由几个词项按我们已经知道[79]是可能的方式达到。如果结论是除它们而外的命题，那就会有几个互不相关的三段论。此外，如果C与D的联系不能产生一个三段论，那么它们将被断定是枉然的，除非是为了归纳，为了混淆论证或其他诸如此类的东西。
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如果从前提A和B中得出的结论不是E而是其他什么，并且从C和D中推出的结论或者是命题A和B中的一个，或者是另外的东西，则会产生几个三段论。这些三段论不能证明所要求的结论，因为已经断定三段论是证明E的。如果从C和B推不出任何结论，那就可以得出，这些命题可被确定是枉然的，并且三段论没有证明原来的设定。因此，很显然，每个证明、每个三段论都只是通过三个词项而得到的。
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明白了这一点以后，我们也就清楚了，每个三段论都是从两个前提并且只是从两个前提中推出的（因为三个词项只构成两个前提），除非如我们在一开头所说的，为了完成三段论再作另外的设定[80]。因此，十分明显，如果在任何三段论论证中，能得到适当结论的前提（我所谓“适当”是因为先前的一些结论必然也是前提）在数目上不是偶数的，那么这个论证要么没有被三段论式所证明，要么为了证明假设提出了过多而不必要的前提。
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因此，如果三段论被认为具有合适的前提，那么，每个三段论都是由偶数的前提和奇数的词项构成的；因为词项比前提在数量上多一个。此外，结论的数目是前提的一半。如果结论是通过三段论的前进式或几个连续的中词达到的（例如，通过词项C和D获得结论AB），那么词项的数目也同样比前提多一个（因为每一个附加的词项要么是外在地，要么是间接地被加到推论上的。在这两种情况下，结果都是指谓关系比词项少一个，而前提的数量总是与指谓关系的数量相等）。但是，前提也并不总是偶数，词项也并不总是奇数；它们的关系是相互的，当前提是偶数的时，词项是奇数的；当词项是偶数的时，前提是奇数的（因为加上了一个词项也就加上了一个前提）；因而，由于前提是偶数的，词项是奇数的，当把同样的成分加于两者时，它们的数量亦据此发生变化。但是结论却既不再与词项也不再与前提保持同样的数目关系。加上一个词项，结论将比原来的词项少增加一个，因为只有最后的词项不构成结论，其他词项皆可。例如，如果词项D加到词项A、B和C之上，因此就多出了两个结论，一个由D和A相连而构成，一个由D和B相连而构成。其他情况亦相同。即使词项是被间接地引入的，同样的规则依然适用，因为词项除了一个而外，其他皆可构成结论，所以结论要比词项和前提多得多。
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