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虽然她早已习惯用纸笔来辅助思考和研究,但最后还是决定使用数学软件,以便提高工作效率,并能更加方便地与他人分享自己的想法。只用了几天时间,她就掌握了所需要的编程技巧。在她正式着手工作之前,又与人们展开了新一轮的讨论。在帮助科琳娜准备第一次“袭击”的过程中,蒂伯发挥了关键的作用。经过反复思考和讨论,她宣布,这个问题可以用解析的方法得到解答。我对此持怀疑态度。但同时我意识到,经验不足也有好处。初生牛犊不怕虎,究竟是勇敢还是鲁莽,还要依最终的结果而定。
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几周之后,并没有明确的结论得出。她遇到了一个又一个难题。有时,科琳娜似乎就要取得重要进展,但随后,一旦攀登到了一座山峰的顶端,她就会发现,自己不过是站在另一座更高山峰的山腰处。在数学领域,这样的现象常常意味着某一知识诉求的终结,意味着走上了死路,不得不在一片寒冷之中,带着沮丧和失落的心情下山回到大本营。看到科琳娜有些踌躇,我开始担心起来。
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一时间,她似乎完全丧失了取得突破的可能性。在科琳娜的支持者中,一直有大槻久的身影。但他却在此时决定离开我们的团队,和妻子亚纪子回到老家日本。大槻久的离开令我们所有人都感到无比失落。他的分析能力和思维清晰程度无人能及。他就是我们攀登最高峰的向导。他离开后,我们需要寻找另一位指路的向导。当科琳娜被困在自己这座陡峭的计算之峰的山脚下时,蒂伯·安塔尔接过了大槻久的火炬,帮助她努力攀登到下一个巅峰。两人一起规划出了最佳路线,并找到了攀登数学之巅的鞋底钉、绳索和冰镐等工具。
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几年前,蒂伯加入了我们的团队。那时,他时常来参加我们的研讨会,总是能问出最优秀的问题。这是一个很好的现象。我第一次遇见他时,蒂伯还在波士顿大学工作。波士顿大学就位于查尔斯河(Charles River)对岸的联邦大道(Commonwealth Avenue)。他非常希望能加入我们的团队,我也非常高兴能将他收入麾下。而且,他还有着令人耳目一新的生活态度。他是个懂得生活的人,爱好爵士乐和啤酒,总是拉着我们去各种音乐会和酒吧。
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同时,蒂伯还对各种问题抱有强烈的兴趣。他在解决问题时,会依循另一种不同的传统。他所采取的方法是典型的物理学家思路,而非数学家思路。物理学家之所以能解开数学家解不开的问题,是因为他们能接受近似结论。他们不会在追求最优的过程中摒弃次优的事物。我的导师鲍勃·梅就是这一实用主义方法的以身作则的实践者。但是,虽然这一策略能得出结论,但却有可能招来纯粹主义者的质疑。数学家渴望获得精确。伟大的哈佛数论学家理查德·泰勒(Richard Taylor)曾经问过我这样一个问题:“对于这一结论,你掌握了数学证据还是物理学家似然性的论证?”我十分欣赏泰勒问问题的方式,于是立刻答道:“只有物理学家似然性的论证。”以免让自己陷入麻烦。
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为了帮助科琳娜,蒂伯带来了一些实用的数学“登山器具”,这些工具是之前研究“表型空间”(phenotype space)博弈时开发的。在表型空间博弈中,玩家会根据对方的熟悉或陌生程度而采取不同的行为。在研究过程中,可以说,蒂伯的性格与他的数学能力同样重要。他一直不断地对科琳娜重复同样的建议:“不要放弃,坚持下去!”科琳娜照做了。于是,终于有一天,巅峰的轮廓似乎出现在了视野之中。
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长达4个月的攀登过程,在无数挫折的磨砺中,科琳娜终于攻下了进化集合的问题。她写出了一个公式。与E=mc2或“如果b/c>k,那么合作得以发展”之类的公式不同,这个公式结构并不简单,甚至是由符号组成的森林。但她坚持说,这个长达几页纸的庞然大物,就是问题的精确结论。这是一个数学家的公式,而非物理学家的近似结论。我很希望这个公式是正确的,但当时心里不免有些怀疑的情绪。
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我决定用计算机模拟来验证这个结论。虽然我写的这个程序很有效率,但还是要开着计算机整夜进行计算。第二天早上,结果得出来了。她的公式和数据间呈现出完美的匹配。在复杂的生物学问题中,我从来没见过计算过程中如此精确的协调一致。科琳娜的公式的确能给出精确的答案。她切切实实地攻克了这个问题,取得了一场完胜。
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流动性是合作的关键
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站在这座数学成就的巅峰上,我们可以信心十足地俯视进化动力学。针对以集合为单位的群体,我们能揭示出自然选择偏好合作而非背叛的具体情况。从科琳娜的研究成果中得出的一个简单结论就是:集合的数量越多,就越有利于合作。这是因为,当集合的数量较多时,合作者就有更多的机会逃脱,远离试图盘剥他们的背叛者,加入没有麻烦的集合。
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这一数学模型也为合作进化的研究提供了一个强大的引擎。个体只有在相互之间共处多个集合的情况下,才会开始互动。举例来说,当我发现同属于一个网球俱乐部的某人,也是理论生物学的研究学者时,我就更有可能与她产生协作。同样,两个人如果仅仅同是民主党人,或同去一家超市购物,或同住在一个小区,力度就是不足够的。为了找到合理的合作机会,我们两人得是住在同一小区、去同一家超市购物的民主党人。对合作者的“挑剔”能极大地提升成功的概率。由此可见, 集合是促进合作进化的最具潜力的结构。
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科琳娜的等式作出了令人惊叹的预测。从公式中可以看出,存在一个流动性的最适宜水平(流动性在这里是指,人们在不同的集合间移动、探索新集合的速度)。如果流动性太低,那么整个群体就太过静态,为背叛者盘剥合作者提供了机会,因此也不利于合作。如果流动性太高,那么能够促进相互帮助的“合作者的友谊”就不会保持很长时间。合作的沃土,存在于这两种极端情况之间。
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有了适当的流动性,合作者就有机会在一处停留足够的时间,从而形成互惠,也可以通过集结成新的集合来逃脱背叛行为。这一过程可以由自然选择做指导:如果几位合作者找到一处没有背叛者的新集合,就会在其中表现良好,吸引更多的合作者。只有过了一段时间,其中的某人才有可能转变为背叛者,并由此破坏集合中的“幸福生活”。之后,集合中的合作者再去寻找新的集合。由于有背叛者的集合不容易吸引新成员,因此随着时间的发展,这些集合的人数就会越来越少,最终空无一人。
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合作困境
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在本章和之前几章中,我们了解到了群体结构促进合作进化的不同方式。我们知道了在空间博弈、图中博弈和集合博弈中,以及在个体之间以及团体之间存在竞争的情况下(所谓的多层选择),背叛的黑暗力量如何遭遇对抗。对于这些表面看来完全不同的合作方法来说,是否存在一个对所有方法予以支持的深层理念?是否存在一个简单的规则,能支配所有这些情况呢?令人惊叹的是,的确存在这样的理念与规则。
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为了更好地理解这一简单的规则,我们不妨退后一步,再对一个基础博弈进行思考。这场博弈发生在两人之间,每个人都可以选择两种行为之中的一种。我们用回报的形式来区分这些合作者与背叛者:R表示相互合作的奖励;P表示相互背叛的惩罚;S表示遭遇背叛的损失;T表示背叛得到的收获。我们对这些回报进行了处理,T>R,R>P,P>S,这样一来,我们就得到了囚徒困境。我在困境一章的开头处曾讲过,正是这样的回报先后顺序使得我们遇到了难度最大的合作困境。
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总体来看,合作困境的形成机制中,R是大于P的。换句话说,相互合作强于相互背叛。同时,还要有下列背叛动机中的一个:T>R;P>S;或T>S。当T>R时,就意味着,如果对方合作,那么我最好背叛;P>S则意味着如果对方背叛,那么我最好也背叛;T>S意味着,在由一位合作者和一位背叛者组成的博弈中,我最好做那个背叛者。如果上述3项动机无一成立,那么这场博弈就不是合作困境。在这种情况下,“合作”就是最明智的选择,不言自明。
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蒂伯·安塔尔在探索合作困境的过程中,得出了一个优雅的结论。假设有一个均匀混合的群体,其中每一位玩家与其他任何一位玩家发生互动的可能性都是相等的。个体参与游戏,累计回报,并愿意去模仿其他成功玩家的策略。这样来看,在这两个策略之间就存在自然选择,而选择结果将与策略的回报成比例。但在两个策略中加入突变的因素之后,就意味着人们有时会随机地从合作转为背叛。蒂伯证明,如果R+S>T+P,那么平均来看,合作者的数量就会比背叛者更为充裕。
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这一条件向我们透露了什么信息?如果合作者遇到另一位合作者或背叛者的可能性相等,那么R+S就是合作者获得的平均回报。同样,如果背叛者遇到另一位背叛者或合作者的可能性相等,那么T+P就是背叛者获得的平均回报。(两种情况中,我们都消掉了等式两边的因数1/2。)“R+S>T+P”这个条件意味着,合作者的平均回报大于背叛者的平均回报。在囚徒困境中,这个不等式是不成立的。在均匀混合的群体中,如果所有玩家都陷入这一类困境,那么合作者的成绩就永远会比背叛者差。但对于其他合作类型的困境来说,该条件就是适用的。此时,即使玩家存在于均匀混合的群体中,采取合作态度也有可能获得收益。
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结构性群体能否进化出合作,“Σ”说了算
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蒂伯·安塔尔的优雅结论,适用于均匀混合的群体,其中,任意两个个体相遇的机会都均等。我们是否能找到适用于结构性群体的相似结论呢?请记住,结构性群体有着无穷无尽的形态,均匀混合群体不过是其中的一种,而且是非常特殊的特例。如果能对所有的结构性群体给出统一的结论,虽然难度很大,但却会十分有意义。
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多年以来,我收获的一些结论和心得总让人认为,取得这样的重要成就是有可能的。我发现,对于许多不同的模型来说,自然选择是倾向于合作者还是背叛者,这个问题可以通过蒂伯公式的简单变体予以回答。这一变体十分简单,因为只需要加上一个叫做“结构系数”的单一参数即可。我将该系数称为“Σ”(sigma)。
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该系数指出了相似玩家相遇的相对概率,换句话说,也就是合作者与其他合作者结成团队、背叛者与其他背叛者合伙的相对概率。合作者的平均回报是Σ×R+S。同样,背叛者的平均回报就是T+Σ×P。如果合作者的平均回报大于背叛者的平均回报,那么合作者数量就有可能比背叛者更充裕。因此,合作者是否能取得针对背叛者的胜利,不仅取决于回报值(R、S、T、P),而且也取决于Σ的值。如果Σ>1,那么合作者甚至有可能赢得囚徒困境。
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我发现,虽然我们研究过的模型非常艰深,但每一个都可以简化成为这样的线性不等式。这意味着,每种群体结构,无论多么复杂,都可以找到Σ参数的值。而计算这一结构系数Σ也就成为了任一给定模型的真正关键所在。当科琳娜“解决”了以集合为单位进行博弈的问题时,她实际上就是找到了计算集合Σ的方法。
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