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虽然她早已习惯用纸笔来辅助思考和研究，但最后还是决定使用数学软件，以便提高工作效率，并能更加方便地与他人分享自己的想法。只用了几天时间，她就掌握了所需要的编程技巧。在她正式着手工作之前，又与人们展开了新一轮的讨论。在帮助科琳娜准备第一次“袭击”的过程中，蒂伯发挥了关键的作用。经过反复思考和讨论，她宣布，这个问题可以用解析的方法得到解答。我对此持怀疑态度。但同时我意识到，经验不足也有好处。初生牛犊不怕虎，究竟是勇敢还是鲁莽，还要依最终的结果而定。
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几周之后，并没有明确的结论得出。她遇到了一个又一个难题。有时，科琳娜似乎就要取得重要进展，但随后，一旦攀登到了一座山峰的顶端，她就会发现，自己不过是站在另一座更高山峰的山腰处。在数学领域，这样的现象常常意味着某一知识诉求的终结，意味着走上了死路，不得不在一片寒冷之中，带着沮丧和失落的心情下山回到大本营。看到科琳娜有些踌躇，我开始担心起来。
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一时间，她似乎完全丧失了取得突破的可能性。在科琳娜的支持者中，一直有大槻久的身影。但他却在此时决定离开我们的团队，和妻子亚纪子回到老家日本。大槻久的离开令我们所有人都感到无比失落。他的分析能力和思维清晰程度无人能及。他就是我们攀登最高峰的向导。他离开后，我们需要寻找另一位指路的向导。当科琳娜被困在自己这座陡峭的计算之峰的山脚下时，蒂伯·安塔尔接过了大槻久的火炬，帮助她努力攀登到下一个巅峰。两人一起规划出了最佳路线，并找到了攀登数学之巅的鞋底钉、绳索和冰镐等工具。
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几年前，蒂伯加入了我们的团队。那时，他时常来参加我们的研讨会，总是能问出最优秀的问题。这是一个很好的现象。我第一次遇见他时，蒂伯还在波士顿大学工作。波士顿大学就位于查尔斯河（Charles River）对岸的联邦大道（Commonwealth Avenue）。他非常希望能加入我们的团队，我也非常高兴能将他收入麾下。而且，他还有着令人耳目一新的生活态度。他是个懂得生活的人，爱好爵士乐和啤酒，总是拉着我们去各种音乐会和酒吧。
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同时，蒂伯还对各种问题抱有强烈的兴趣。他在解决问题时，会依循另一种不同的传统。他所采取的方法是典型的物理学家思路，而非数学家思路。物理学家之所以能解开数学家解不开的问题，是因为他们能接受近似结论。他们不会在追求最优的过程中摒弃次优的事物。我的导师鲍勃·梅就是这一实用主义方法的以身作则的实践者。但是，虽然这一策略能得出结论，但却有可能招来纯粹主义者的质疑。数学家渴望获得精确。伟大的哈佛数论学家理查德·泰勒（Richard Taylor）曾经问过我这样一个问题：“对于这一结论，你掌握了数学证据还是物理学家似然性的论证？”我十分欣赏泰勒问问题的方式，于是立刻答道：“只有物理学家似然性的论证。”以免让自己陷入麻烦。
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为了帮助科琳娜，蒂伯带来了一些实用的数学“登山器具”，这些工具是之前研究“表型空间”（phenotype space）博弈时开发的。在表型空间博弈中，玩家会根据对方的熟悉或陌生程度而采取不同的行为。在研究过程中，可以说，蒂伯的性格与他的数学能力同样重要。他一直不断地对科琳娜重复同样的建议：“不要放弃，坚持下去！”科琳娜照做了。于是，终于有一天，巅峰的轮廓似乎出现在了视野之中。
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长达4个月的攀登过程，在无数挫折的磨砺中，科琳娜终于攻下了进化集合的问题。她写出了一个公式。与E＝mc2或“如果b/c>k，那么合作得以发展”之类的公式不同，这个公式结构并不简单，甚至是由符号组成的森林。但她坚持说，这个长达几页纸的庞然大物，就是问题的精确结论。这是一个数学家的公式，而非物理学家的近似结论。我很希望这个公式是正确的，但当时心里不免有些怀疑的情绪。
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我决定用计算机模拟来验证这个结论。虽然我写的这个程序很有效率，但还是要开着计算机整夜进行计算。第二天早上，结果得出来了。她的公式和数据间呈现出完美的匹配。在复杂的生物学问题中，我从来没见过计算过程中如此精确的协调一致。科琳娜的公式的确能给出精确的答案。她切切实实地攻克了这个问题，取得了一场完胜。
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流动性是合作的关键
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站在这座数学成就的巅峰上，我们可以信心十足地俯视进化动力学。针对以集合为单位的群体，我们能揭示出自然选择偏好合作而非背叛的具体情况。从科琳娜的研究成果中得出的一个简单结论就是：集合的数量越多，就越有利于合作。这是因为，当集合的数量较多时，合作者就有更多的机会逃脱，远离试图盘剥他们的背叛者，加入没有麻烦的集合。
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这一数学模型也为合作进化的研究提供了一个强大的引擎。个体只有在相互之间共处多个集合的情况下，才会开始互动。举例来说，当我发现同属于一个网球俱乐部的某人，也是理论生物学的研究学者时，我就更有可能与她产生协作。同样，两个人如果仅仅同是民主党人，或同去一家超市购物，或同住在一个小区，力度就是不足够的。为了找到合理的合作机会，我们两人得是住在同一小区、去同一家超市购物的民主党人。对合作者的“挑剔”能极大地提升成功的概率。由此可见， 集合是促进合作进化的最具潜力的结构。
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科琳娜的等式作出了令人惊叹的预测。从公式中可以看出，存在一个流动性的最适宜水平（流动性在这里是指，人们在不同的集合间移动、探索新集合的速度）。如果流动性太低，那么整个群体就太过静态，为背叛者盘剥合作者提供了机会，因此也不利于合作。如果流动性太高，那么能够促进相互帮助的“合作者的友谊”就不会保持很长时间。合作的沃土，存在于这两种极端情况之间。
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有了适当的流动性，合作者就有机会在一处停留足够的时间，从而形成互惠，也可以通过集结成新的集合来逃脱背叛行为。这一过程可以由自然选择做指导：如果几位合作者找到一处没有背叛者的新集合，就会在其中表现良好，吸引更多的合作者。只有过了一段时间，其中的某人才有可能转变为背叛者，并由此破坏集合中的“幸福生活”。之后，集合中的合作者再去寻找新的集合。由于有背叛者的集合不容易吸引新成员，因此随着时间的发展，这些集合的人数就会越来越少，最终空无一人。
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合作困境
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在本章和之前几章中，我们了解到了群体结构促进合作进化的不同方式。我们知道了在空间博弈、图中博弈和集合博弈中，以及在个体之间以及团体之间存在竞争的情况下（所谓的多层选择），背叛的黑暗力量如何遭遇对抗。对于这些表面看来完全不同的合作方法来说，是否存在一个对所有方法予以支持的深层理念？是否存在一个简单的规则，能支配所有这些情况呢？令人惊叹的是，的确存在这样的理念与规则。
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为了更好地理解这一简单的规则，我们不妨退后一步，再对一个基础博弈进行思考。这场博弈发生在两人之间，每个人都可以选择两种行为之中的一种。我们用回报的形式来区分这些合作者与背叛者：R表示相互合作的奖励；P表示相互背叛的惩罚；S表示遭遇背叛的损失；T表示背叛得到的收获。我们对这些回报进行了处理，T>R，R>P，P>S，这样一来，我们就得到了囚徒困境。我在困境一章的开头处曾讲过，正是这样的回报先后顺序使得我们遇到了难度最大的合作困境。
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总体来看，合作困境的形成机制中，R是大于P的。换句话说，相互合作强于相互背叛。同时，还要有下列背叛动机中的一个：T>R；P>S；或T>S。当T>R时，就意味着，如果对方合作，那么我最好背叛；P>S则意味着如果对方背叛，那么我最好也背叛；T>S意味着，在由一位合作者和一位背叛者组成的博弈中，我最好做那个背叛者。如果上述3项动机无一成立，那么这场博弈就不是合作困境。在这种情况下，“合作”就是最明智的选择，不言自明。
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蒂伯·安塔尔在探索合作困境的过程中，得出了一个优雅的结论。假设有一个均匀混合的群体，其中每一位玩家与其他任何一位玩家发生互动的可能性都是相等的。个体参与游戏，累计回报，并愿意去模仿其他成功玩家的策略。这样来看，在这两个策略之间就存在自然选择，而选择结果将与策略的回报成比例。但在两个策略中加入突变的因素之后，就意味着人们有时会随机地从合作转为背叛。蒂伯证明，如果R＋S>T＋P，那么平均来看，合作者的数量就会比背叛者更为充裕。
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这一条件向我们透露了什么信息？如果合作者遇到另一位合作者或背叛者的可能性相等，那么R＋S就是合作者获得的平均回报。同样，如果背叛者遇到另一位背叛者或合作者的可能性相等，那么T＋P就是背叛者获得的平均回报。（两种情况中，我们都消掉了等式两边的因数1/2。）“R＋S>T＋P”这个条件意味着，合作者的平均回报大于背叛者的平均回报。在囚徒困境中，这个不等式是不成立的。在均匀混合的群体中，如果所有玩家都陷入这一类困境，那么合作者的成绩就永远会比背叛者差。但对于其他合作类型的困境来说，该条件就是适用的。此时，即使玩家存在于均匀混合的群体中，采取合作态度也有可能获得收益。
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结构性群体能否进化出合作，“Σ”说了算
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蒂伯·安塔尔的优雅结论，适用于均匀混合的群体，其中，任意两个个体相遇的机会都均等。我们是否能找到适用于结构性群体的相似结论呢？请记住，结构性群体有着无穷无尽的形态，均匀混合群体不过是其中的一种，而且是非常特殊的特例。如果能对所有的结构性群体给出统一的结论，虽然难度很大，但却会十分有意义。
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多年以来，我收获的一些结论和心得总让人认为，取得这样的重要成就是有可能的。我发现，对于许多不同的模型来说，自然选择是倾向于合作者还是背叛者，这个问题可以通过蒂伯公式的简单变体予以回答。这一变体十分简单，因为只需要加上一个叫做“结构系数”的单一参数即可。我将该系数称为“Σ”（sigma）。
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该系数指出了相似玩家相遇的相对概率，换句话说，也就是合作者与其他合作者结成团队、背叛者与其他背叛者合伙的相对概率。合作者的平均回报是Σ×R＋S。同样，背叛者的平均回报就是T＋Σ×P。如果合作者的平均回报大于背叛者的平均回报，那么合作者数量就有可能比背叛者更充裕。因此，合作者是否能取得针对背叛者的胜利，不仅取决于回报值（R、S、T、P），而且也取决于Σ的值。如果Σ>1，那么合作者甚至有可能赢得囚徒困境。
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我发现，虽然我们研究过的模型非常艰深，但每一个都可以简化成为这样的线性不等式。这意味着，每种群体结构，无论多么复杂，都可以找到Σ参数的值。而计算这一结构系数Σ也就成为了任一给定模型的真正关键所在。当科琳娜“解决”了以集合为单位进行博弈的问题时，她实际上就是找到了计算集合Σ的方法。
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