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分层样本
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选取分层随机样本的步骤如下：
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第一步：将抽样框架中的个体先分成若干群，被称为层。分层的标准是，你对于这些层有特别的兴趣，或者同一层中的个体有相似的性质。
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第二步：每层各取一个简单随机样本，把它们合起来就是我们要的样本。
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要选出适当的“层”，必须根据抽样前对总体的了解。你或许会把大学里的学生依本科生和研究生分成两层，也可能按照住校生和不住校生分成两层。分层样本在几个方面优于简单随机样本：首先，因为要在每层分别抽取简单随机样本，我们可以在每层分别决定样本的大小，因此可以分别得到各层的结论。其次，分层样本的误差范围通常比同样大小的简单随机样本小，因为同一层中个体之间的相似程度比整个总体的个体之间大，所以使分层样本可以消除样本统计量的某些变异性。
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现在我们告诉你一件事，可能会让你感到很惊讶：分层样本违反了简单随机样本最吸引人的一个性质，即分层样本未必会给总体中每个个体相同的被抽中的机会，因为有些层在样本中所占的比例有可能被刻意地提高了。
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例8 学生分层样本
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一所大学有30000名学生，其中有3000人是研究生。如果从全体学生中抽取一个包含500名学生的简单随机样本，那么每个学生被抽中的概率是相同的，这个概率是：
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我们预计在简单随机样本中大约只有50名研究生，因为全部学生的10%是研究生，所以我们希望简单随机样本中有10%的学生是研究生。但是，大小为50的样本不够大，无法准确地反映研究生的意见。所以，我们可能更希望有一个包含200名研究生和300名本科生的分层样本。
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你知道该怎样选出这样的分层样本吧？给研究生编上0001~3000的代码，用表A选择大小为200的简单随机样本。再给本科生编上00001~27000的代码，用表A选出大小为300的简单随机样本。最后将这两部分样本合并，就是你要的分层样本了。
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在这个分层样本中，每个研究生被抽中的概率是：
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每名本科生被抽中的概率小一些，是：
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由于我们有两个简单随机样本，所以很容易分别了解大学生和研究生的意见。用速算公式可以算出样本统计量的误差，对研究生来说，大约是：
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对于本科生来说，大约是：
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因为例8中的分层样本刻意加重了研究生的比例，所以必须对最后的结论做出调整，才能得到所有学生意见的无偏估计。请注意，我们的速算法只能用于简单随机样本上。事实上，要做专业分析的话，还得考虑到总体包含30000个个体这一事实，所以统计学家又有更多的工作机会了。
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练习
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4.2 分层样本。“随机”大学的统计学院有5个系和10个本科专业。使用表A，从第111行开始，选出一个包含一个系代表和一名学生代表的分层样本，参加由校长发起的接待活动。
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例9 电话访谈的苦恼
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从理论上说，随机拨打号码的电话访谈可以用简单随机样本。电话访谈没必要分群，但是分层仍可以降低变异性，所以电话访谈经常采用两阶段抽样：先抽取一个前缀码（区号加上电话号码的前三位），然后按照前缀码随机拨打抽取的个别号码（后4位）。
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