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例1 抛硬币
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当你抛一枚硬币的时候，结果只有两种可能：正面朝上或反面朝上。图17-1显示了抛硬币1000次的结果。在这1000次投掷中，将正面朝上的比例画在图上。第一次的结果是正面朝上，所以正面朝上的比例是1，第二次是反面朝上，此时正面朝上的比例降为0.5。再接下去的4次，是1次正面朝上和3次反面朝上，所以6次投掷后正面朝上的比例是2/6，也就是0.333。
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开始时正面朝上的比例变化很大，随着投掷的次数增多，这个比例会逐渐稳定下来，靠近0.5，而且会维持在0.5附近。我们把0.5称为正面朝上的概率，并用一条水平线将它表示出来。
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统计学里的“随机性”并不是“偶然性”的同义词，而是在描述某种长期下来才会出现的规则。我们在每一天的生活中，都会碰到随机性不可预测的那一面，但我们很少有机会能重复观察同一个随机现象许多次，而且次数多到能够看出规则或模式。你可以在图17-1中看到规则的出现，从长期来看，正面朝上的比例是0.5，这是概率的直觉概念。概率为0.5表示“在尝试多次的情况下，有一半的可能性会发生”。
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图17-1 抛硬币许多次，正面朝上的比例随着我们投掷的次数而改变，但最终会非常接近0.5，这就是我们说的“正面朝上的概率是一半”的意思
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我们可能仅仅因为硬币只有两面，就会猜正面朝上的概率是0.5。但是，婴儿的性别也只有两种可能，概率却不一样——生男婴的概率差不多是0.51，而不是0.50。概率的概念源自经验法则，也就是说，是根据数据而不是根据理论得来的。概率描述在重复多次后会发生什么情况，我们必须真的观察许多次抛硬币的结果或许多的婴儿，才能够了解这个概率。说到抛硬币，有些勤快的人还真的投掷过成千上万次硬币呢。
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例2 抛硬币的人
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法国自然科学家布冯伯爵将一枚硬币抛了4040次，结果有2048次正面朝上，即正面朝上的比例为2048/4040=0.5069。
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大约在1900年，英国统计学家卡尔·皮尔逊竟然抛了24000次硬币，结果有12012次正面朝上，比例为0.5005。
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南非数学家约翰·克里奇在第二次世界大战期间被关在监狱里，他抛了10000次硬币，结果有5067次正面朝上，比例为0.5067。
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随机与概率
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如果一个现象的个别结果无法预测，然而在多次重复之后，其结果会呈现出规则的分布，我们就称该现象为随机现象。
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一个随机现象的任一结果的出现概率是在0~1之间的一个数字，该数字描述在重复多次的情形下某个结果出现的比例。
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概率为0的结果从来都不会发生，概率为1的结果则每重复一次就发生一次。概率为1/2的结果，在多次重复的情况下，大约有一半时间会发生。当然，我们永远没办法实际观察出一个概率，比如，硬币不管抛了多少次都可以再抛。数学中的概率是一种理想化的描述，预测的是在无休止重复的情况下某结果发生的可能性。
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我们不想在这里做深入的研究。随机现象的存在，只不过是我们观察这个世界所得到的事实，概率也只是用来描述随机现象长期规律性的语言。抛一次硬币的结果、放射源发射出粒子的间隔时间，以及实验室老鼠生的下一胎小老鼠的性别都是随机的。随机样本或者随机实验的结果也是随机的。一大群人的行为，常常和抛多次硬币或取多个随机样本的结果一样充满随机性。举例来说，人寿保险根据的就是在一大群人里面死亡是随机发生的事件这个事实。
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例3 死亡概率
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我们没法预测某个人明年会不会死。但是，如果观察好几百万人，死亡的规律就是随机的了。美国国家卫生统计中心宣布，20~24岁的男性当中，每年的死亡概率差不多是0.0014，这是一个年轻男性明年会死的概率。对于同一年龄段的女性，死亡概率大约是0.0005。
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如果一家保险公司向年龄为20~24岁的人出售了很多人寿保险，公司就会知道：卖给男性的保险明年大约有0.14%的需要理赔，卖给女性的则大约有0.05%的需要理赔。因为男性的理赔比例较高，所以保险费也会收得多一些。
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机会的古代史
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在玩需要多次重复的机会游戏，如掷色子、发洗好的牌、轮盘赌时，我们最容易注意到随机现象。类似这些游戏的机会装置，曾在远古时代被用来揣摩神的旨意。古代西方最常用的随机化方法是“掷骨头”，就是掷好几块距骨（图17-2），距骨是相当规则的实心骨头，取自动物的脚跟。抛掷之后，等距骨静止，四面中的其中一面会朝上（有两面是圆形的）。用陶土或骨头做的立方体色子后来才出现，但即使是色子，在公元前2000年之前就已经存在了。跟占卜术比起来，用掷骨头或掷色子来赌博几乎算是较近代的行为了。在大约公元前300年前，还没有这种“堕落行为”的明确记录。赌博在罗马时代十分风靡，后来在基督教的不认同之下暂时衰落（和占卜术一起）。
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图17-2 动物的距骨（脚后跟骨）的实际尺寸
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有史以来，诸如距骨这样的机会工具就被使用了。但是，在古代那些伟大的数学家中，没有一个人研究过掷骨头或掷色子很多次可以得到的模式。也许是因为距骨以及大部分的古代色子的形状不够规则，使得每一个的结果都有不同的模式。或者还有更深层次的原因，比如人们不太愿意做系统的实验。
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