1702637356
有一次，我在拉斯韦加斯赌场漫步，眼看着钱从赌桌上落入赌桌下的盒子里。你在赌场里会看到有趣的人类行为：当掷色子的人连赢几把的时候，有些赌徒会认为她“手风正顺”，打赌她还会继续赢；其他人却说，根据“平均律”（law of averages），她应该会输，这样输赢才能平衡。笃信平均律的人认为，如果你抛硬币6次并得到“反反反反反反”的结果，下一次一定是正面朝上的概率比较大。长期来说，正面朝上的比例的确应该占一半。所谓的神话是指，认为像连续出现6次反面朝上的不平衡状况，会在下一次的结果中得到纠正。
1702637357
1702637358
硬币和色子没有记忆。硬币不知道前6次的结果都是反面朝上，不能在下一次想办法得到一个正面朝上的结果来纠正不平衡。当然，长期下来真的会达到平衡。在抛了10000次以后，前6次的结果就无足轻重了，但不是被“纠正”，而是被后来抛的9994次的结果淹没了。
1702637359
1702637360
例8 我们想生一个男孩
1702637361
1702637362
相信这个假的“平均律”，有可能导致近乎灾难的结果。几年前，“亲爱的艾比”这个提供建议的专栏，刊登了一个心烦意乱的母亲的信，她一连生了8个女儿。她和她的丈夫本来打算要4个孩子，可是当4个女儿出生后，他们又继续尝试。在第7个女儿出生后，就连她的医生都向她保证：“根据平均律，你下一次生下男婴的机会是100∶1。”不幸的是，这对夫妇生孩子就像抛硬币一样，在已经有了7个女儿之后，下一个还是女孩的概率并没有减小，而且实实在在地发生了。
1702637363
1702637364
什么是平均律
1702637365
1702637366
世界上存在“平均律”吗？是的，尽管有时它被称为“大数定律”（law of large numbers）。它指的是大量独立存在的随机现象在重复发生的过程中（比如抛硬币），平均数或比例有可能随着次数增加变得更稳定，而总和或计数可能变化更大。对坏运气做出补偿，这种情况不会发生，因为“独立”的意思是知道一次的结果，并不会改变其他结果的发生概率。
1702637367
1702637368
图17-1和17-3展示了我们多次抛一枚硬币的情况。在图17-1中，我们看到正面朝上的比例随着抛掷次数增加，会越来越接近0.5。这就是大数定律。然而，我们从图17-3上可以看到，随着抛掷次数增加，正面朝上的总次数的变化越来越大。所以，大数定理不适用于总和或计数。
1702637369
1702637370
1702637371
1702637372
1702637373
图17-3 多次抛一枚硬币，正面朝上的次数与抛掷次数的一半之差会随着抛掷次数的增加而变大
1702637374
1702637375
我们不时看到用平均律表述总和或计数的错误做法，而不是用平均值或比例表述。例如，假设在美国男孩和女孩的出生概率是相等的，你可能会听到有人说美国的男女性总人数也大致相等，而不是男女性所占比例几乎相等。
1702637376
1702637377
练习
1702637378
1702637379
17.2 抛硬币与平均律。作家C·S·刘易斯曾写道，根据平均律，如果你抛一枚硬币10亿次，你可以预测正面朝上和反面朝上的次数几乎相等。这是平均律的一种正确表述吗？如果不是，该如何改正？
1702637380
1702637381
个人概率
1702637382
1702637383
乔坐在那儿瞪着他的啤酒，他支持的棒球队芝加哥小熊队，刚刚又输了一场球。小熊队拥有一些很优秀的年轻球员，所以我们问乔：“明年小熊队打进大联盟冠军赛的概率有多大？”乔的眼睛亮起来了，他说：“噢，大概10%。”
1702637384
1702637385
是乔把小熊队打进大联盟冠军赛的概率设定为0.10吗？下一年的比赛结果当然是没法预测的，但若我们考虑重复多次会发生什么结果，又不大合理。明年的大联盟冠军赛只会发生一次，而且在球员、天气和其他许多方面都会和其他赛季不同。这个问题的答案似乎很清楚：如果概率度量的是“假如我们重复多次，会出现什么结果”，则乔说的0.10根本不是概率。概率是根据同一个随机现象重复多次而来的。乔给我们的不是概率，而是他的个人判断。
1702637386
1702637387
可是，当我们在使用“概率”这个词的时候，也常常包括了我们对于某个事件发生可能性的个人判断。我们还会根据这些判断做出决定，比如，我们乘坐公共汽车进城，是因为考虑到能找到停车位的机会很小。就连更重要的决定也会把对“机会有多大”的判断考虑在内。决定是否要建新厂的公司现在就必须判断，当三年后新厂盖好时，消费者对该公司产品有大量需求的机会有多大。许多公司把他们对“机会有多大”的判断，用数字表示并把它当成概率，还用于计算。三年后有大量需求，就像小熊队打进明年的冠军赛一样，都是“只此一次”的事件，没法“重复多次”。不仅如此，公司的每个高级主管给出的概率可能都不一样，反映出他们每个人的判断不同。因此，我们需要另外一种概率——“个人概率”（personal probability）。
1702637388
1702637389
个人概率
1702637390
1702637391
一个事件的个人概率是0~1之间的一个数字，代表个人对于该事件发生机会有多大的判断。
1702637392
1702637393
个人概率有一个优势，就是不仅限于“重复发生的事情”。这种概率很有用，因为我们会根据它做决定：“我相信新英格兰爱国者队能赢得超级碗的概率是0.75，所以我要押注赌爱国者队人赢。”要记住，个人概率和“重复多次的比例”这种概率属于不同种类，前者只代表个人意见，无所谓对错。
1702637394
1702637395
即使在可以“多次重复”的情况下，这一点也是对的。如果克雷格的直觉告诉他，下一次抛硬币正面朝上的概率是0.7，这只是克雷格的想法。抛硬币多次，可能显示出正面朝上的比例十分接近0.5，这是另一回事。要求个人对于一次结果的信心必须与多次结果一样，是没有道理的。我特别强调这一点，是因为常常有人认为“个人概率”和“尝试多次会出现什么结果”不过是同一个概念的两种不同解释，但事实上这两个概念的差别很大。
1702637396
1702637397
为什么对于个人意见我们还要用“概率”这样的字眼呢？有两个很好的理由：首先，如果我们知道尝试多次的数据结果，那么我们通常也会根据这些数据来做出个人判断。布冯、皮尔逊与克里奇抛硬币的结果（例2），以及我们自己的经验，让我们相信抛硬币多次的话，正面朝上的次数十分接近一半。当我们说这次抛硬币正面朝上的概率是1/2时，我们是在把根据多次抛硬币会得到的正面朝上的概率，应用在抛一次硬币的情况上。其次，个人概率或长期概率，都遵循同样的数学规则，例如，两种概率都是在0~1之间的数字。这些对我们来说，并不如对数学家那样重要。不过，我们在下一章还是会介绍一些概率规则，这些规则对两种概率都适用。
1702637398
1702637399
尽管“个人概率”和“多次尝试所出现的结果”是不同的概念，但后者还是经常会修正我们的“个人概率”。如果克雷格凭直觉认为他抛一枚硬币出现正面朝上的概率是0.7，那只是他个人的想法。如果他抛了20次硬币有9次正面朝上，他可以继续认为正面朝上的概率是0.7，因为个人概率无须与多次尝试的结果相符。但是，他也有可能会根据自己的观察向下调整个人概率。
1702637400
1702637401
在统计学中，调整个人概率是有正规方法的，被称为“贝叶斯方法”。基本定律就是“贝叶斯定理”，这个名称来自托马斯·贝叶斯，他在1764年发表的文章《机会问题的解法》中提出了这个定理。其涉及的数学知识有点儿复杂，我们不讨论其中的细节。尽管如此，贝叶斯方法的应用却越来越普及了。
1702637402
1702637403
概率与风险
1702637404
1702637405
一旦我们知道，“对于机会多大的个人判断”和“重复多次会出现什么结果”是不同的概念，就可以了解为什么一般大众和专家，对于什么时候风险很大、什么时候风险不大的意见会大不相同。专家是用根据数据计算得出的概率，来描述遇上某个不受欢迎事件的风险；然而，个人或者社会却似乎对数据置之不理。我们会为一些几乎永远不会发生的事担心，却对某些很有可能发生的事毫不在意。