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图17-3 多次抛一枚硬币，正面朝上的次数与抛掷次数的一半之差会随着抛掷次数的增加而变大
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我们不时看到用平均律表述总和或计数的错误做法，而不是用平均值或比例表述。例如，假设在美国男孩和女孩的出生概率是相等的，你可能会听到有人说美国的男女性总人数也大致相等，而不是男女性所占比例几乎相等。
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练习
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17.2 抛硬币与平均律。作家C·S·刘易斯曾写道，根据平均律，如果你抛一枚硬币10亿次，你可以预测正面朝上和反面朝上的次数几乎相等。这是平均律的一种正确表述吗？如果不是，该如何改正？
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个人概率
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乔坐在那儿瞪着他的啤酒，他支持的棒球队芝加哥小熊队，刚刚又输了一场球。小熊队拥有一些很优秀的年轻球员，所以我们问乔：“明年小熊队打进大联盟冠军赛的概率有多大？”乔的眼睛亮起来了，他说：“噢，大概10%。”
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是乔把小熊队打进大联盟冠军赛的概率设定为0.10吗？下一年的比赛结果当然是没法预测的，但若我们考虑重复多次会发生什么结果，又不大合理。明年的大联盟冠军赛只会发生一次，而且在球员、天气和其他许多方面都会和其他赛季不同。这个问题的答案似乎很清楚：如果概率度量的是“假如我们重复多次，会出现什么结果”，则乔说的0.10根本不是概率。概率是根据同一个随机现象重复多次而来的。乔给我们的不是概率，而是他的个人判断。
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可是，当我们在使用“概率”这个词的时候，也常常包括了我们对于某个事件发生可能性的个人判断。我们还会根据这些判断做出决定，比如，我们乘坐公共汽车进城，是因为考虑到能找到停车位的机会很小。就连更重要的决定也会把对“机会有多大”的判断考虑在内。决定是否要建新厂的公司现在就必须判断，当三年后新厂盖好时，消费者对该公司产品有大量需求的机会有多大。许多公司把他们对“机会有多大”的判断，用数字表示并把它当成概率，还用于计算。三年后有大量需求，就像小熊队打进明年的冠军赛一样，都是“只此一次”的事件，没法“重复多次”。不仅如此，公司的每个高级主管给出的概率可能都不一样，反映出他们每个人的判断不同。因此，我们需要另外一种概率——“个人概率”（personal probability）。
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个人概率
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一个事件的个人概率是0~1之间的一个数字，代表个人对于该事件发生机会有多大的判断。
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个人概率有一个优势，就是不仅限于“重复发生的事情”。这种概率很有用，因为我们会根据它做决定：“我相信新英格兰爱国者队能赢得超级碗的概率是0.75，所以我要押注赌爱国者队人赢。”要记住，个人概率和“重复多次的比例”这种概率属于不同种类，前者只代表个人意见，无所谓对错。
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即使在可以“多次重复”的情况下，这一点也是对的。如果克雷格的直觉告诉他，下一次抛硬币正面朝上的概率是0.7，这只是克雷格的想法。抛硬币多次，可能显示出正面朝上的比例十分接近0.5，这是另一回事。要求个人对于一次结果的信心必须与多次结果一样，是没有道理的。我特别强调这一点，是因为常常有人认为“个人概率”和“尝试多次会出现什么结果”不过是同一个概念的两种不同解释，但事实上这两个概念的差别很大。
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为什么对于个人意见我们还要用“概率”这样的字眼呢？有两个很好的理由：首先，如果我们知道尝试多次的数据结果，那么我们通常也会根据这些数据来做出个人判断。布冯、皮尔逊与克里奇抛硬币的结果（例2），以及我们自己的经验，让我们相信抛硬币多次的话，正面朝上的次数十分接近一半。当我们说这次抛硬币正面朝上的概率是1/2时，我们是在把根据多次抛硬币会得到的正面朝上的概率，应用在抛一次硬币的情况上。其次，个人概率或长期概率，都遵循同样的数学规则，例如，两种概率都是在0~1之间的数字。这些对我们来说，并不如对数学家那样重要。不过，我们在下一章还是会介绍一些概率规则，这些规则对两种概率都适用。
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尽管“个人概率”和“多次尝试所出现的结果”是不同的概念，但后者还是经常会修正我们的“个人概率”。如果克雷格凭直觉认为他抛一枚硬币出现正面朝上的概率是0.7，那只是他个人的想法。如果他抛了20次硬币有9次正面朝上，他可以继续认为正面朝上的概率是0.7，因为个人概率无须与多次尝试的结果相符。但是，他也有可能会根据自己的观察向下调整个人概率。
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在统计学中，调整个人概率是有正规方法的，被称为“贝叶斯方法”。基本定律就是“贝叶斯定理”，这个名称来自托马斯·贝叶斯，他在1764年发表的文章《机会问题的解法》中提出了这个定理。其涉及的数学知识有点儿复杂，我们不讨论其中的细节。尽管如此，贝叶斯方法的应用却越来越普及了。
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概率与风险
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一旦我们知道，“对于机会多大的个人判断”和“重复多次会出现什么结果”是不同的概念，就可以了解为什么一般大众和专家，对于什么时候风险很大、什么时候风险不大的意见会大不相同。专家是用根据数据计算得出的概率，来描述遇上某个不受欢迎事件的风险；然而，个人或者社会却似乎对数据置之不理。我们会为一些几乎永远不会发生的事担心，却对某些很有可能发生的事毫不在意。
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例9 学校里的石棉
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高度暴露于石棉是危险的，而低度暴露的风险很低。例如，包裹学校暖气管道的绝缘材料中有石棉。一位老师如果在一个有常规石棉用量的学校工作30年，因此患癌症的概率差不多是百万分之15。开车的人死于车祸的概率大约是百万分之15000。也就是说，经常开车的死亡风险是在有石棉的学校里患癌症风险的1000倍。
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风险并没有阻止人们继续开车，但比开车风险更小的石棉却引发了大规模的清理行动，美国联邦政府要求每个学校必须检查石棉用量并公布结果。
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为什么我们把石棉的风险看得比驾驶的风险大得多？为什么我们对一些很难碰上的威胁，比如龙卷风和恐怖分子，担忧的程度超过患心脏病？
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• 比较起来，当风险似乎在我们的掌握之中时，我们会比不能控制它时觉得更安全。我们开车时可以掌握情况（或者自认为如此），但对于来自石棉、龙卷风或恐怖分子的风险，我们却完全不能控制。
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• 要理解非常小的概率有点儿困难。百万分之15和百万分之15000的概率都很小，我们的直觉不能分辨出两者的差别。心理学家曾指出，我们常会将很小的风险高估，而将较大的风险低估。也许，这就是我们对概率的直觉的一个普遍弱点。
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