1702638326
有一种简单的彩票游戏，就是新罕布什尔州、缅因州和佛蒙特州共同发行的“三州每日一数”。你付0.5美元，选择一个三位数。发行机构用随机方式选出一个三位数的中奖号码，若和你选出的号码一样，你就能赢得250美元。因为三位数共有1000个，所以你中奖的概率是1/1000。以下是你赢钱的概率模型：
1702638327
1702638328
1702638329
1702638330
1702638331
平均来说，你可以赢多少钱？这两个结果的常见平均数是125美元，但将它视为你赢钱的平均数是毫无道理的，因为得到250美元的概率比什么也得不到的概率小得多。长期来说，你赌1000次才有1次可以赢得250美元，而其他999次你都会一无所得。（当然，如果你坚持玩这个游戏，即使你买了1000次彩票，也不能保证你一定会赢一次）。你买彩票的长期平均所得是：
1702638332
1702638333
250美元×0.001+0美元×0.999=0.25美元
1702638334
1702638335
即25美分，由此可见，长期来说，州政府只拿出一半赌注作为彩金，自己则留下了另一半。
1702638336
1702638337
我们在例1中用来评估值不值得赌的这种“平均结果”（average outcome），有一个一般定义。
1702638338
1702638339
期望值
1702638340
1702638341
有数值结果的随机现象，其期望值（expected value）是每一个结果乘以它的概率，然后再加总。
1702638342
1702638343
用符号表示，假设可能的结果是a1、a2…ak，它们的概率分别是p1、p2…pk，则期望值是：
1702638344
1702638345
期望值=a1p1+a2p2+…+akpk
1702638346
1702638347
期望值是所有可能结果的平均数，但不像平常的平均数一样对所有结果一视同仁，而是要把每个结果依照它的概率来加权。所以，经常发生的结果，就有比较高的权重。
1702638348
1702638349
例2“六组连胜”彩票
1702638350
1702638351
例1中的彩票是在你选的三位数与中奖号码完全相同时付给你彩金。你也可以选择另一种售价1美元的“六组连胜”彩票。你还是要选一个三位数，但是现在有两种情况可以赢钱。如果你选的三位数和中奖号码一样，你可以赢292美元；如果三个数字一样但排列顺序不同，你就只能得到42美元。比如，假设你选的三位数是123，中奖号码也是123，你就可以得到292美元。如果中奖号码是132、213、231、312和321其中之一，你就只能得到42美元。长期下来，每赌1000次，你就有1次机会赢得292美元，有5次机会赢得42美元，所以你赢钱的概率模型是：
1702638352
1702638353
1702638354
1702638355
1702638356
期望值是：
1702638357
1702638358
期望值=0美元×0.994+42美元×0.005+292美元×0.001=0.502美元
1702638359
1702638360
看来这个游戏比例1稍好，因为州政府支付的彩金要比总下注金额的一半多一点儿。
1702638361
1702638362
“三州每日一数”在所有州彩票游戏当中是比较特别的一种，它的各种赌法所支付的彩金是固定的，而大部分的州在支付彩金时用的是“同注分彩赌博”（pari-mutuel）系统。新泽西州的“选三号”游戏就是一个典型代表：州政府把下注金额全部加起来，用一半来当作彩金，由所有彩票中奖者均分。你还是有1/1000的概率中奖，但是你选的号码123会替你赢多少钱，一方面要看那天下注的金额有多少，另一方面要看有多少人选了123这个号码。因为彩金不固定，选123这个号码的期望值就没办法计算，但有一点是不变的，就是州政府留下了一半赌金。
1702638363
1702638364
把期望值当作平均值的这种概念，不仅可以用在机会游戏上，也可以用在其他的随机结果上。比如，它还可以用于描述买股票或建新工厂等回报不确定的投资。以下是一个不一样的例子。
1702638365
1702638366
知识普及 在彩票上做手脚
1702638367
1702638368
美国人都在电视上看过彩票开奖的实况直播，看到号码球上下乱跳，在空气压力的作用下随机弹跳出来。怎么样可以对开出的号码做手脚呢？1980年，宾夕法尼亚州乐透被面带微笑的主持人与几个舞台工作人员动了手脚。他们把10个号码球中的8个注入油漆，让球变重，由此可以保证跳出来的三个球中必定包含那两个未注入油漆的号码球。然后，这些人下注买包含那两个号码的所有数字组合。当开出的中奖号码是666的时候，他们赢了120万美元。是的，他们后来被逮捕了。
1702638369
1702638370
例3 每户几辆车？
1702638371
1702638372
在美国，每个住户平均拥有几辆车？人口普查局告诉我们，每户车辆数的分布（基于2000年普查）如下：
1702638373
1702638374
1702638375