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这是任意选择一个住户，并计数它有几辆车的概率模型。（我们忽略了那些拥有超过5辆车的住户。）这个模型的期望值，是每个住户拥有的平均车辆数。这个期望值是：
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期望值=0×0.10+1×0.34+2×0.39+3×0.13+4×0.03+5×0.01=1.68辆/户
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练习
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20.1 18岁以下的孩子数目。人口普查局给出了2009年美国家庭拥有18岁以下孩子数目的分布：
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在这个表中，4实际上代表了4个或更多孩子。但出于练习的目的，假设它在这里指的是家里有4个18岁以下的孩子，其对应的比例也是随机抽取的家庭有4个18岁以下孩子的概率。这个分布的期望值是一个拥有18岁以下孩子的平均家庭数目，这个期望值是多少？
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大数定律
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期望值是所有可能结果的平均值，但在计算平均值时，概率大的结果占的比重较高。我认为期望值也是另一种意义上的平均结果，它代表如果我们重复赌很多次，或者随机选出很多住户，实际上可以估算出的长期平均值。这并不只是直觉，数学家只要用概率的基本规则就可以证明，用概率模型算出来的期望值，真的就是“长期平均值”。这个有名的事实叫作“大数定律”。
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大数定律
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大数定律是指，如果结果为数值的随机现象独立地重复出现许多次，实际观察到的结果的平均值会趋近于期望值。
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大数定律和概率的概念密切相关。在许多次独立的实验当中，每个可能结果的发生比例都会接近它的概率，所得到的平均结果也会接近期望值。这些事实反映了机会事件的长期规律性，它是我们在第17章所讨论的“平均律”的一个真正版本。
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大数定律解释了为什么对个人来说是一种消遣或嗜好的赌博，对赌场来说却是生意。经营赌场根本就不是在赌博，大量客人赢钱的平均数会很接近期望值。赌场经营者事先就算好了期望值，并且知道长期下来自己的收入会有多少，所以并不需要通过在色子里灌铅或者在洗牌时作弊来保证利润。赌场只要花心思提供不贵的游戏和便宜的交通工具，让顾客川流不息地进场就行了。只要赌注足够多，大数定律就能保证赌场赚钱。人寿保险公司的运作也很像赌场，它赌买保险的人不会死。当然，有些人确实会死，但是保险公司知道概率，并且依赖大数定律来预测必须赔付的保险金的平均数目。然后，保险公司会把保费定得足够高，以保证自己的利润。
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深入探讨期望值
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跟概率一样，期望值和大数定律都值得我们再花些时间去探讨相关的细节问题。
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多大的数才算“大数”？
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大数定律的意思是，当实验的次数越来越多时，许多次实验的实际平均结果会越来越接近期望值。可是大数定律没有说需要做多少次实验，才能保证其平均结果接近期望值。这取决于随机结果的“变异性”。
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结果的变异性越大，就需要次数越多的实验，以确保平均结果接近期望值。机会游戏一定要变化大，才能激起赌客的兴趣。即使在赌场里待上好几个钟头，结果也是无法预测的。所以，变异性极大的赌博，例如累积奖金数额很大但中奖概率很小的州彩票，需要次数多到数不清的实验，才能保证平均结果接近期望值。（州政府可不需要依赖大数定律，因为彩票不像赌场游戏，它使用的是同注分彩赌博系统。在这个系统里，彩金和赢率取决于实际的赌注金额。比如，对于州彩票，彩金取决于州政府拿走一部分后还剩下多少。对于赛马而言，彩金和赢率取决于在不同马匹上所下赌注的金额。）
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虽然大部分的赌博游戏变异性不像彩票那么大，但对于大数定律的应用，以很现实的话来说通常就是：赌场可以依赖大数定律，但你可不行。你的问题在于，你赢钱的期望值总是负数。作为一个群体，赌客们的期望值是负数，所以随着时间推移，这个群体总是输钱。然而，这个损失不是平均分摊在每个赌客身上的。其中一些人赢了很多钱，有些人则输得很惨，还有些人不赢不亏。赌博之所以能够诱惑人心，大部分是因为赌客无法预测出赌博的结果。而赌场的生意经则是，结果并非不可预测。
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有没有确保赢钱的赌法？
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把赌博当成一回事儿的赌客常常遵循某种赌法：每次的下注金额视前几次的结果而定。比如，在赌输时，你可以每次把轮盘赌的赌注加倍，直到你赢为止或者你输光为止。即使轮盘没有记忆，你也想用你有记忆这一点来取胜。你可以用一套赌法来战胜概率吗？不行，数学家建立的另一种更强大的大数定律指出，如果你没有无穷无尽的赌本，只要赌博游戏的各次实验（比如轮盘的各次转动）是彼此独立的，你的平均获利（期望值）就是一样的。很遗憾。
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用模拟方法计算期望值
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我们在现实生活中怎样计算期望值？你已经知道了数学公式，但是要用公式，必须先知道每个结果的概率。如果用这种方法计算期望值太困难，你也可以用模拟方法来算。步骤还是跟以前一样：建立概率模型，用随机数字模拟，并重复许多次。根据大数定律，这些结果的平均数将会接近期望值。
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知识普及 高科技赌博
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全美国有超过70万台老虎机。从前的老虎机是，你丢一枚硬币进去再拉动手柄转动三个轮子，每个轮子上有20个图案。但是，时下的老虎机是电动游戏，会闪出许多很炫目的画面，结果由随机数字产生器决定。机器可以同时接受许多枚硬币，有各种让你眼花缭乱的中奖结果。赌徒仍在寻找可以赢钱的赌法，但是长期下来，随机数字产生器保证赌场会有5%的利润。
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