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20.2 科比·布莱恩特的投篮中大约有45%可以命中。平均来说，在一场比赛里，他需要投几次篮才能命中第一个球？换言之，我们想知道他在投中第一个球之前，投篮次数的期望值是多少。用10次模拟来估算，直到他投中第一个球。用例4中介绍的模拟方法，你估算出的期望值是多少？
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小结
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本章要点
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• 期望值是所有可能结果的加权平均数，每个结果所对应的权重是该结果的概率。
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• 当结果是数值时，比如机会游戏，我们也想知道长期下来的平均结果是什么。大数定律告诉我们，重复许多次之后的平均结果会趋近于期望值。
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• 如果你不知道各个结果的概率，你可以利用模拟的方法来估计期望值（以及各结果的概率）。
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在第17章中，我们讨论了平均律和对它的正确解读——大数定律。在这一章，我们介绍了大数定律及其与期望值的关系。了解大数定律和期望值，有助于理解机会游戏，包括州彩票。期望值提供了一个方法，让你可以比较累积赌注大而赢率小的游戏和累积赌注小而赢率大的游戏，孰优孰劣。
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案例分析与评估
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用本章所学知识，回答以下问题：
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• 美国轮盘赌的轮盘共有38格，其中有18格是黑色的，有18格是红色的，还有2格是绿色的。转动轮盘之后，球落入任意一格的概率是一样的。如果你在红区押注1美元，而且球真的落在红区，你就可以得到2美元。（如果赌客在红区或黑区下注，那么两个绿格就是赌场的。）给出在红区下注1美元并且赢钱的概率模型，计算期望值。
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• 百万富翁彩票游戏网站给出各种奖金及其赢率：
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（a）一张彩票售价1美元时，累积奖金通常从1200万美元开始，如果没有人赢，则每次翻一倍。当累积奖金是1200万美元时，期望值是多少？如果有多个赢家，他们会分享这笔累积奖金，但在这个题目里，我们选择忽略这种情况。
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（b）2012年3月30日的累积奖金高达6.56亿美元。假如没有人分享这笔奖金，那么买1张彩票的中奖期望值是多少？
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（c）累计赌注是多大金额时，百万富翁彩票的赢率期望值才会与你在问题1中算出的轮盘赌的赢率一样大？
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你认为轮盘赌或百万富翁彩票是比较好的赌博游戏吗？有一个事实是，当累积奖金增加时，彩票销售收入增加了，人们分享这些奖金的概率也增加了。所以，问题2的期望值夸大了实际的期望值。
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练习
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20.1见本书第139页。
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20.2见本书第144页。
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20.3 数字彩。选三个数字的彩票游戏（例1）源自“数字彩”，数字彩是在美国大城市的贫穷地区常见的地下赌博活动，政府通常将其中一部分收入投资给教育事业以平衡其负面影响。其中一种版本的玩法如下：你在0~999之间的1000个三位数中任选一个，然后支付1美元下注。每天都会随机选出一个三位数，猜中的人可以得到600美元。猜中的期望值是多少？对赌博的人来说，数字彩是否比例1中的选三个数字游戏划算？
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20.4 选4个数字。“三州每日一数”的选4个数字游戏，和例1的选三个数字很像。你支付0.5美元，选一个4位数。州政府开出一个随机的4位数，若你选的数字和它一样，就可以赢得2500美元。这个数字游戏的中奖期望值是多少？
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20.5 选4个数字。如同选三个数字（例2），你可以在选4个数字游戏中下更好的注。在1美元24连胜游戏里，如果你选择的数字是1234，中奖号码也是1234，你就会赢得2604美元。如果中奖号码是这4个数字但排列顺序不同，那么你只能赢得104美元（一共有15种排序方式）。你中奖的期望值是多少？
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20.6 轮盘赌。美国轮盘赌的轮盘共有38格，其中18格是黑色，18格是红色，2格是绿色。转动轮盘之后，球停在任何一格的概率是一样的。赌客将筹码放在标有38个格子的颜色和数字的桌子上。红格和黑格在桌上排成三列，每列有12格。如果球正好落在你下注的那一列的任何一格，下注1美元就可以赢得3美元。这种赌法赢钱的期望值有多大？如果你已经思考过案例评估与分析的问题，那么这种赌法与赌红、黑格相比，哪种对你更有利？
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20.7 做决定。心理学家阿莫斯·特沃斯基以一般人对于机会结果的看法为题，做了许多研究。《纽约时报》在特沃斯基的讣闻里引用了以下的例子。
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