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20.19 玩游戏。好了，朋友们，我这里有个小游戏，你可以玩一玩。假设有一个很均匀的硬币（正、反面朝上的概率各为1/2）。掷两次硬币，如果出现两个正面朝上，你就赢了。如果没出现两个正面朝上，我会再给你一次机会，多掷两次硬币，如果都是正面朝上，你就赢了。（当然，如果你还是没有掷出两个正面朝上，就是我赢。）要玩这个游戏的话，你得付我1美元，如果你赢，我会把你的1美元还你，还会再给你1美元。
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（a）为这个游戏画个树形图。用树形图来说明，怎样模拟玩这个游戏一次。
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（b）你押注的1美元可能赢得的金额有两种：如果我赢，你得0美元；如果你赢，你得2美元。从表A第125行开始，模拟玩这个游戏50次。用得到的结果来估计你玩这个游戏的期望收益。
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20.20 选择题测验。莎琳即将参加一个有10道选择题的小考，每题有5个选项。假设各题彼此独立，则她猜对一题的概率是0.2。用模拟方法来估计莎琳答对题目数量的期望值。（模拟20次。）
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20.21 三次考试。练习19.14中有某个自定进度的科目，至多有三次考试机会的概率模型。在那个练习中，你模拟了50次，来估计伊琳通过这门课程考试的概率。用这个模拟结果（或重新做50次模拟），来估计伊琳考试次数的期望值。
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20.22 期望值。以下是我们在第19章模拟过的共同情境：做次数固定的独立实验，每次的结果都有两种可能，且其概率相同。抛硬币、篮球赛中的罚球、观察新生婴儿的性别，都是符合以上情境的例子。我们姑且把结果叫作“中了”或是“未中”。我们可以看出“中了”的次数期望值应该是多少。如果勒布朗投了12次三分球，每次投中的概率是0.3，那么命中次数的期望值是12的30%，即3.6。同样，如果我们共做了n次实验，每次实验“中了”的概率是p，那么“中了”的次数期望值为n×p。这一事实可以用数学方法证明，我们能不能用模拟的方法来验证呢？
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模拟抛10次硬币共50组。（要想快些结束，可以用表A总共50行中每一行的头10个数，以奇数代表正面，偶数与0代表反面。）用n×p公式得到的正面朝上次数的期望值是多少？你的50组模拟中正面朝上的平均次数是多少？
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20.23 赌场赚钱的秘密。一个秘密是，赌场能够赚到轮盘赌投注金额的20%多，这是因为赢了钱的赌客还会继续玩。假设一名赌客可以拿回赌注的95%，即一次1美元的投注后他拿回了95美分。
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（a）两次下注后，他拿回了多少钱？
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（b）三次下注后，他拿回了多少钱？
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注意，他下注的次数越多，赌场从中赚得越多。事实上，赌客不可能以固定的比例拿回钱，即使最幸运的赌客长期赌下去也会输光。赌场表面上从每一美元赌金中分走5.3美分，但实际上有至少20美分都进了赌场的腰包。
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20.24 网上练习。美国大多数州都有一种彩票，比如说从51个数字里选出6个，彩金非常丰厚。如果你所在的州也有这种彩票，算出赌注中有多大比例以彩金形式返还给了赌客。你应该可以在网上找到相关信息。有多少百分比是州政府的收益？州政府将彩票收入用在何处？
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20.25 网上练习。如练习19.25所说，有一些网站可以生成随机数字。这些网站能够在做模拟选取随机数字时替代表A。第2章例4提到的Research Randomizer（www.randomizer.org）就是这样的网站。为了使用Research Randomizer做模拟，你需要在“你希望集合中的每个数是唯一的吗”这个问题跳出来时选择“no”，这样就可以让同一数字重复出现。如果你做过了练习20.14、20.17、20.18、20.19、20.20、20.21、20.22中的任何一个，用Research Randomizer替代表A作为随机数字生成器，重新做模拟。
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20.26 网上练习。有关篮球运动员的信息可以在www.basketball-reference.com网站上查找。找到史蒂夫·纳什的职业生涯三分球数据（纳什是三分球命中率最高的运动员之一），平均而言，在一场比赛中，他要投多少个三分球才能命中一个？换言之，我们想知道他在投中第一个三分球之前需要投篮多少次。做10次模拟直到他投中第一个三分球，估算这个期望值。
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统计学的世界（第8版） 第3部分 内容回顾
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有些现象是随机的，虽然其各个结果事前无法预知，长期下来却呈现出一种有规则的模式。赌博用具（色子、轮盘赌）和抽取简单随机样本都是随机现象的例子。概率和期望值是我们描述随机性的语言。随机性其实是某种秩序，它有一种长期规律性，既非毫无章法，也不能事前预知事件的结果。在第17章我们讨论了随机性，在第18章提出了一些和概率相关的基本事实，在第20章介绍了期望值。
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当有随机性存在时，概率可以回答“长期下来某事件有多频繁地发生”这样的问题，期望值可以回答“长期下来平均数是多少”这样的问题。由于期望值用概率来定义，两个问题的答案因此息息相关。概率模型对所有可能的结果分配概率，任何一个概率模型都必须符合概率规则。有一种概率模型用的是密度曲线，例如用正态分布曲线下方的面积来分配概率。个人概率代表对于某个事件有多大机会发生的个人判断。个人概率要合理，就必须符合概率规则。
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如果要计算一个较复杂事件的概率，而且不用数学方法，那么可以用随机数字来模拟许多次。期望值也可以用模拟方法来估算，第19章教你如何做模拟。先要建立所有可能结果的概率模型，然后分配随机数字来模拟概率的分配，之后再用随机数字表模拟许多回合。把某一事件在多次模拟中的发生频率记录下来，就可以当作对该事件发生概率的估计，把平均结果记录下来就可以估计期望值。
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重要知识点
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以下是你读完本书第17~20章后，应该掌握的重要知识点。
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A.随机和概率
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• 分得出有些现象是随机的，概率可以描述随机现象的长期规律性。
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• 了解某件事的发生概率，是指某一随机现象重复许多次以后，该事情发生次数的比例。用“概率是长期比例”这个概念来思考概率问题。
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