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1703562949 方差（样本方差的方差）与样本容量的关系如图2-2所示。

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1703562954 图2-2　样本方差的方差会收敛至真实总体方差，它是样本容量N的函数

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1703562956 如果直接心算gamma函数会非常难，因此如果能找到一个更为简单的近似公式，那么在实际中将大有裨益。首先我们注意到：

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1703562961 将式（2-8）代入式（2-6），整理后只取到N的一阶项（近似），可得：

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1703562966 因此，再结合式（2-6）和式（2-7）可以得到：

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1703562971 这样我们便得到了一个更为简单的有关波动率估计量置信区间的表达式。置信区间与样本容量N之间的变动关系可以参见表2-2。从该表可以看出，与式（2-7）得到的精确结果相比，近似结果的误差相当小。

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1703562973 表2-2　置信区间与样本容量N的关系

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1703562978 因此，使用更多的数据可以带给我们更为准确的结果。这在静态过程中对波动率进行估计没有问题，但在真实的金融市场中，这种估计方法就存在很多问题。由于抽样误差的存在，所以如果数据量过少，那么度量出的波动率便会因为噪声（即误差）的存在而偏离真实波动率。但反过来，如果数据量过多，那么这些样本中就有可能掺杂与当前市场状态无关的数据。因此选取适当的样本容量就显得非常有艺术性，最合适的数据量将与当前的市场环境有关。然而，常见的使用最近30个收盘价数据来估计波动率的方法显然会出现大得离谱的抽样误差。2倍标准差下95%的置信区间意味着，我们偏离真实值的幅度高达25%！

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1703562980 抽样误差和度量误差完全是两回事。在物理实验中，由于测量设备或实验装置的限制，我们可能只能在一个有限的精确度内测量出某一确定量的值。但如果我们忽略买卖价差，那么股票价格便是一个精确的数字，从而其历史波动率也是一个精确的数字。度量的整个过程不存在任何不确定性。不过度量出的数字是否真实地反映了合约标的的情况，这是不确定的。这就好比在棒球比赛中，当一位击球手五击五中的时候，毫无争议，他的命中率确实达到100%，但却没有人能说他是一位100%命中的击球手。这是因为我们极有可能只是碰巧看到了他职业生涯的巅峰，而在其他某些时间可能一个球都击不中。类似地，就像命中能力一样，波动率也是一个不可观测的量，我们只能去估计它。我们对波动率进行的度量只是真实波动率的片面反映，这就好比夺冠次数只是棒球运动员真实能力的侧面反映一样。

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1703562982 在着手解决上述问题前，我们再来看一个能说明该收盘价–收盘价估计量具有实用性的理由，即该估计量可以改写为另外一种形式，这种形式可以简单地将股价的平均变动与波动率联系起来，而这种形式对交易员来说也是相当有帮助的。

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1703562984 其实标准差就是各平方项均值的开方形式。但是对于这些量的变化，我们通常很难直观地进行解释。因此，我们可以观察一个基于股价变动的估计量作为替代，即

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