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图5-13 10月期权的中间价隐含波动率与行权价之间的关系（GME公司，2007年9月5日，平值行权价为49.67）
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当我们通过调整式（5-14）中的参数σ、μ3和μ4来最小化市场报价和Corrado-Su价格之差的平方后，我们得到如下的结果：σ=0.508，μ3=-0.701，μ4=4.42。
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优点
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·我们现在可以以类似于研究隐含波动率的方式来研究隐含偏度和隐含峰度，因此就可以记录要交易产品的参数的正常范围和数值。我们可以为偏度和峰度构造期限结构。
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·我们可以直接比较隐含矩和已实现矩之间的差值（还是和研究波动率时一样）。我们可以构造偏度和峰度锥。
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缺点
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·Corrado-Su公式中的波动率不是平值隐含波动率。起初接触这一概念的人往往会比较困惑。
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·其他的隐含矩并不以我们所直观想象的方式影响隐含波动率。举个例子，交易员倾向于认为偏度是隐含波动率曲线的线性斜率。但如果我们保持波动率为常数，并且设置峰度为0，那么可以通过Corrado-Su公式得到类似于BSM的隐含波动率（作为行权价的函数）的关系曲线，如图5-14所示。
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图5-14 等价隐含波动率与在值程度之间的关系（σ=0.50，μ3=-0.70，μ4=0）
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·类似地，交易员认为“峰度”是导致隐含波动率曲线上出现曲率的原因。但如果我们保持波动率为常数，设置偏度为0，那么Corrado-Su公式得到的相当于BSM的隐含波动率关于行权价的曲线，如图5-15所示。注意它并不相对于平值波动率对称，并且隐含波动率的最低点在平值行权价的左边一点。
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·高阶矩对隐含波动率的影响在某种程度上是交织在一起的，所以我们不能直接把曲线形状的改变归因为偏度或者峰度，如图5-16所示。
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图5-15 等价隐含波动率与在值程度之间的关系（σ=0.50，μ3=0，μ4=10）
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图5-16 偏度/峰度的取值范围，预设着Gram-Charlier展开是一种概率密度
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在不是很离奇的情景下，我们也有可能计算得到负的期权价格。例如，假设合约标的的价格为50，距离行权日还有50天，利率为5%，波动率为50%，偏度为-0.7，峰度为0，对于一个行权价为65的看涨期权，我们得到的期权价格是-0.21。为避免期权价格出现负值，Rubinstein（1998）对偏度/峰度的取值范围进行了估计。Jondeau和Rockinger（1999，2001）采用Barton和Dennis（1952）的方法推导出偏度/峰度的取值范围，在这个区域内Gram-Charlier展开为正数时，如图5-16所示。该图表明，要保证由Gram-Charlier展开得到的期权价格为正，收益率分布不能偏离正态分布太大。
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Corrado和Su的模型只能直接用于欧式期权的定价上，但是要用于美式期权也很简单。只要把同样的思路用于构造树，再将美式期权（或者更通用的其他期权）的边界条件加上去便可。这个想法首先是由Rubinstein（1998）提出的，他是从Edgeworth展开式入手进行研究的。Haug（2007b）对Edgeworth和Gram-Charlier树都提供了代码。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562370]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 期限结构的动态变化
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做市商通常对存续期较短的期权的指令流和风险最为关心，这是对他们所掌握资源的合理利用。这些期权不仅是成交量最大的，还是通过交易能很快改变整个市场风险轮廓的期权。不过，做市商对当月期权的这种关心可能会给其他交易员带来好的交易机会。
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由于波动率是均值回复的，因此我们会预期近月期权隐含波动率的变化幅度会比远月合约略微更小一些。不过，在实践中，远月合约隐含波动率的变化幅度会比理性预期模型所预示的大得多：它们会过度反应。
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最早发现这一效应的是Stein（1989），但它在20年之后依然存在。这让我们意识到，做市商行为中交易执行的具体方法存在一些心理成分。在这段时间里，波动率曲面的调整和风险管理发生了显著的变化。