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所以损益的波动率和期权初始价值的函数关系满足：
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这个结论其实也不算多么精确，事实上还谈不上是正确的。实际的关系式应该是（Kamal和Derman，1999）：
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由这个式子可以推导出估计跨式期权组合标准差的经验法则。平值期权（看涨或者看跌）的价值近似为（Brenner和Subrahmanyam，1994）：
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所以跨式期权组合（由一份看跌期权和一份看涨期权合成）的vega近似为：
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如果我们将跨式期权组合当成一个单一波动率的赌注，并且只对冲一次（N=1），那么根据式（7-7），我们可以得到：
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请注意，在这个式子中，只有实际的已实现波动率与最终的到期结果有关。它的大小只有在到期日才能知道，因此与我们完成交易后期权市场的隐含波动率无关。
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值得注意的一个要点是：交易员有可能正确估计了已实现波动率，但是却没能盈利。为了避免由于无限次对冲而产生的巨额交易成本，这是我们必须承担的风险。这部分损益的波动虽然让人无可奈何，但是我们总能通过增加对冲频率来降低波动率。我们还要注意，这个结论的前提是合约标的价格服从扩散过程。如果存在价格跳跃，频繁对冲也一样无济于事。在实际市场的交易中，总有一些风险是我们无法对冲的。股票交易员实际交易的是价格漂移，但他也会面临波动率风险和路径依赖的风险。做多一只价格从100平缓上涨到110的股票，与做多一只价格从100先跌到50再迅速涨到110的股票是完全不同的。在这两个例子中，最终的结果无法明确告诉我们交易中隐含的所有风险。我们主动地进行波动率交易，但同时也面临波动率抽样的风险（或者说是波动率的波动率）以及路径依赖的风险。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562381]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） 波动率依赖
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在以上分析中，我们假设以真实波动率来对冲期权。但在实践中，真实波动率是未知的，所以我们需要选择一个对冲波动率。显然有两个波动率可供选择，即σ预测和σ隐含。到底哪一个更好呢？无论选择哪个波动率，它显然都不会和到期时的已实现波动率相同，这会产生什么后果呢？
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一些简单的例子表明，选择不同对冲波动率所得到的损益结果也同样具有路径依赖的特性。考虑如图7-7所示的两条合约标的价格路径。它们拥有相同的年化波动率（23.44%），但是其中的一条会产生更多的价格漂移。
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图7-7 具有相同波动率的两条价格路径
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假设我们购买vega为$1000、行权价为100的一月期看涨期权，购买时的隐含波动率为18.44%，考虑在每日收盘前进行对冲。另外还假设我们可以完美地预测已实现波动率（注意，在计算盈利时不会有抽样误差，因为价格路径是被确切地构造出来的，而不是由特定的随机过程产生的）。表7-2展示了分别基于隐含波动率和预测波动率进行对冲时P/L的可能情况。
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表7-2 相同期权组合在不同波动率和路径下的对冲结果