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这里，Δ是对冲组合中的股票数量。所以在任何时候，对冲头寸的价值为ΔxS。如果我们持有该期权的空头头寸，目标是去对冲它，因此我们会最大化在到期日能够偿付的概率。或者说，在任意时间点，财富总额可由式（8-35）得到，而我们的目标是使最终财富能够达到B的概率最大化。此时的最优策略是式（8-33）所示的策略，财富值x=C（t，S）。在代入公式之后，我们得到：
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所以这个策略确实和二项看涨期权的对冲策略等价，此时我们把股价视为财富值W。图8-11和图8-12研究了这一动态头寸规模策略与恒定凯利策略的区别。它们假设股票的价格漂移为22%，年化波动率为45%，以及无风险利率为8%。此时的凯利比率为0.6914。我们的目标是在100个交易日内获利50%（虽然不是完全不切实际的目标，但是根据股票的漂移幅度和波动率，这是个很乐观的目标）。我们会发现，在最开始阶段，Browne策略要激进得多。由于设定的目标比较高，因此需要承担的风险也较大。刚开始的时候，策略所使用的杠杆为1.8倍，这是凯利策略所用杠杆的3倍。但随着财富值越来越接近目标值，我们所用的策略大幅调低了所承担的风险。在实践中，交易员可以实时监控目标值，并随时做出调整（这个过程会在第9章中进行讨论）。
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图8-11 分别根据Browne和凯利策略所得到的累积财富
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图8-12 Browne比率和实现目标的概率
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Browne同样证明了，这个策略击败其他策略所需要的期望时间为：
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所以现在我们把这个策略与之前的凯利策略的结果进行比较。比较的结果在表8-3中。
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表8-3 Browne策略超越竞争策略10%时所需的时间
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这些数据都远远优于凯利策略。凯利策略需要10286年才能够比纯股票收益率高10%（95%的置信区间）。虽然按凯利规则交易能够保证破产概率为0，但Browne策略大大缩短了期望时间，因此承担这点小小的风险还是值得的。
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如上面提到的，以所需时间为判断标准，这个方法远远优于凯利策略，但它也承担了更多的风险。具体来说，我们期望实现目标的概率为V，破产的概率为1-V，其中：
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式中，μZ为该资产的期望漂移量；V在图8-12中已经有所体现。
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正如在上面提到的，由于引入了效用函数，我们需要明确成功的具体含义。
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截至目前，我们研究的交易情景都是静态的。要么是我们有机会执行一次交易（或赌局），然后观察结果的收益是怎样的，要么是有机会投资一种有着固定漂移量和波动率的资产。一个更现实的情况是，我们关注的所有参数都在不断变化。尤其是在第5章中，我们了解到隐含波动率是一个均值回复的过程。考虑这些情形后，会导致一个看上去有些矛盾的局面。
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Proebsting的矛盾是，凯利规则的使用看上去会导致破产这一违反直觉的结果。就像大多数“矛盾”一样，这个矛盾也是可以解决的，但仔细考察这一争论和它的解法也是有所裨益的。Todd Proebsting在一封写过Edward Thorpe的电子邮件中首先指出了这个矛盾，Thorpe后来在写给Wilmott Magazine的文章（Thorpe，2008）中写了出来。
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假设这样一种情形，某个赌徒参加了胜率为50%的赌局。赢了则获得2美元，输了则损失1美元。式（8-5）告诉我们，此时的凯利比率为0.25。现在，在游戏开始之前，该赌徒参加了针对同一事件的另一个赌局。这个赌局会在赢时获得5美元，输时则仍损失1美元。现在我们需要为这个新的机会确定账户金额的比例f。在赌局结束时，该赌徒的账户金额要么是1.5W0+5fW0（赢时），要么是0.75W0-fW0（输时）。因此我们可以最大化下式：
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