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如果我们把当前时点视为起始时间点，我们就可以用远期价格Ft和虚值期权来表现：
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式（12-1）和式（12-2）实际上给出了无模型隐含方差。当我们对其取平方根以求波动率时，我们会用到Jenson不等式来向上偏斜。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562417]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） VIX指数
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波动率指数（VIX）是芝加哥期权交易所（CBOE）在1993年引入的，它被设计来作为权益市场波动率的基准指数。2003年，其计算方法被改变为提供一种与模型无关的与远期相像的波动率指数：未来30天标准普尔500期权市场波动率的预期值。它的计算方法是式（12-2）的离散版本，其中积分被求和所近似替代。据我所知，最早研究这个离散情形的人是Demeterfi等人（1999），他们考察了用有限数量的行权价来计算时的某些细节效果。
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Carr和Wu（2006）对构造VIX的两种方法进行了比较。VIX与合理值之间的偏差可以很容易得到（例如，参见www.cboe.com），指数值被追溯计算回1990年1月2日。
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VIX是用以下公式对一个加权带（strip）的期权进行计算来得到的：
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其中，r为无风险利率；T为存续期（CBOE是用分钟来计算）；F为指数的远期价格；X0为刚好低于远期价格的行权价；Xi为第i个虚值期权的行权价；V为对应期权的中间价。
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在式（12-3）～式（12-5）中代入两个期权存续期T1和T2，然后用插值法来得到不变的30天波动率：
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其中，NT为相应合约的剩余分钟数。
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VIX指数（也被称为现货VIX）并不是一个可交易的资产。虽然可以瞬时复制该指数，但需要不停地进行再平衡，这不仅是因为需要维持30天的存续期，还因为取平方根所导致的凹度。不过，VIX期货是可以交易的，它们提供了许多对隐含波动率进行投机的有趣方法。
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） [:1703562418]
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波动率交易：期权量化交易员指南（原书第2版） VIX期货
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VIX期货是在2004年3月首次上市的（VIX期权随后在2006年上市），它们的基准为VIX的现货价值。由于VIX指数并不能被静态地复制，因此通常以现货为基础的期货定价关系并不成立，也就无法进行套利。相反，VIX期货需要用一个关于隐含波动率未来变化过程的模型来定价。VIX期货合理价值的计算是与模型相关的。
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人们提出了许多这样的模型，但尚未达成共识。此外，即使我们有一个很好的模型，它可能对大多数交易员而言都不是很有用。期货的市场价格看上去并没有在模型的预测值周围波动。我们可以参与交易，并持有至到期。一些对冲基金可能会这样操作，但期权交易公司不会这样做。交易公司（以及大多数期权交易员）都会对这种由模型驱动的交易表示怀疑。
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