1703622340
当l=1时，K1 是Sharpe-Omega比率；当l=2时，K2 是Sortino比率。当然我们很难解释K3 和K4 的意义，但可以将它们近似解释为偏度和峰度的三阶及四阶数据。
1703622341
1703622342
对于连续形式，l阶下偏矩函数如下所示：
1703622343
1703622344
1703622345
1703622346
1703622347
l阶下偏矩也可以从离散收益率样本中得到：
1703622348
1703622349
1703622350
1703622351
1703622352
当然，有些人认为离散数据只能说明故事的一部分，他们还是偏爱连续形式的函数。但是，离散形式更容易理解和计算，而且不需要先估计概率函数。同时离散收益率直接反应投资者最关心的收益率区间（通常是月度）。无可否认，每月达到一个固定的收益率和每年达到一个等同的年化收益率是不同的概念。当然我们还要重申，投资者最关心的还是月度收益率是否在目标收益率之下。
1703622353
1703622354
上行空间比率
1703622355
1703622356
Sortino等（1999）提出的上行空间比率包含了上行空间和下行风险，也可以用来对投资组合表现进行排序。
1703622357
1703622358
1703622359
1703622360
1703622361
在表4-13中，我们计算了投资组合下行风险、Sortino比率、下行和上行空间、Omega比率、Omega-Sharpe比率和上行空间比率。
1703622362
1703622363
投资者最关心的还是实际达到的收益率。我认为在分子中实际达到的收益率与投资者最相关，所以我偏爱Sortino比率。
1703622364
1703622365
表4-13 参考基准下行风险（月度最低目标收益率=0.5%，年化最低目标收益率=6.17%）
1703622366
1703622367
1703622368
1703622369
1703622370
1703622371
1703622372
1703622373
波动率偏度
1703622374
1703622375
一个同Omega比率近似但使用二阶偏矩的是波动率偏度（Rom和Ferguson，2001），它是上行方差和下行方差的比率。如果值大于1表示正向偏度，值小于1表示负向偏度。
1703622376
1703622377
1703622378
1703622379
1703622380
这个指标奖励极端的正值，惩罚极端的负值。对于像我这样的人来说不是很确定是否应该过度奖励极端正值，因为极端正值很可能是一次性事件。所以我认为上行空间比率是更合适的指标。
1703622381
1703622382
变化性偏度
1703622383
1703622384
尽管依照指标的排名会保持一致，我还是偏爱采用波动率偏度的平方根。为了区别名称，我称其为变化性偏度。
1703622385
1703622386
1703622387
1703622388
1703622389
调整的夏普比率