1704438286
y
1704438287
1704438288
50%
1704438289
1704438290
在男友未出轨的情况下，内衣出现的概率
1704438291
1704438292
z
1704438293
1704438294
5%
1704438295
1704438296
后验概率
1704438297
1704438298
在你发现内衣的情况下，修正对男友出轨的预测值
1704438299
1704438300
xy
1704438301
1704438302
xy ＋ z（1－ x）
1704438303
1704438304
29%
1704438305
1704438306
1704438307
1704438308
当我们的先验观念很强大时，它们在新出现的证据面前会表现出惊人的弹性。有一个经典的例子可以证明这一点，那就是女性40多岁时患上乳腺癌的概率。女性步入40岁之后，患乳腺癌的概率其实很低，只有1.4%，这是很幸运的。但是，如果一位女性的乳房 X 光片显示阳性，那么她患乳腺癌的概率会是多少呢？
1704438309
1704438310
研究显示，如果一位女性未患乳腺癌，其乳房 X 光片会错误地显示她患乳腺癌的概率仅为10%。而如果一位女性确实患有乳腺癌，X 光片会查出她患乳腺癌的概率约为75%。看到这些统计结果，你会觉得阳性 X 光片似乎确实不是什么好消息，但如果用贝叶斯定理来分析这些数据，你会得到不同的结论：40多岁的女性，即使乳房 X 光片呈阳性，其患乳腺癌的概率也只有10%，因为鲜有女性年轻时就得上乳腺癌。因此，许多医生都建议女性在50多岁时再进行常规的乳房 X 光检查，而这样会使得患乳腺癌的先验概率更高。
1704438311
1704438312
这样的问题无疑极具挑战性。最近一项针对美国人的统计学意识的民意调查就介绍了这个乳腺癌的例子，结果发现，只有3%的受访者能够给出正确的概率估值。有时，放慢速度直观地审视这个问题（如图8–2所示），反而会得到与不准确的估值完全相反的真实数值。可视化技术使得人们更容易考虑全局，因为乳腺癌在年轻女性中病发率极低，所以阳性 X 光片根本就不能说明问题。
1704438313
1704438314
1704438315
1704438316
1704438317
图8–2 贝叶斯定理——乳房 X 光片的例子
1704438318
1704438319
然而，我们通常会把焦点集中到最新、最快获得的信息上，而忽略了全局。鲍勃·乌尔加利斯这样聪明的赌客善于利用我们的这种思维缺陷。乌尔加利斯在湖人队的比赛上赌赢了，一部分原因是其他赌客过于关注湖人队最初的几场比赛。虽然有一员大将受伤，湖人队的表现仍然与你预想的强队应有的表现相差无几，可赌客还是将湖人队获胜的概率从1/4降到1/6.5。贝叶斯定理要求我们认真考虑这些问题，当我们的原始近似值过于粗糙时，这一点很有用处。
1704438320
1704438321
不过，这并不能说明我们的先验概率总是支配新的证据，也不能说明贝叶斯定理本身会产生有悖常理的结果。有时，新证据的力量十分强大，会压倒所有其他证据，我们对一件事情的概率估计几乎可以立即从零跃升到100%。
1704438322
1704438323
这里，我还要提到一个比较沉重的例子：“9·11”恐怖袭击事件。2001年9月11日清晨，当我们从梦中醒来时，大部分人都想不到恐怖分子的飞机会撞向曼哈顿世贸中心大楼。但是，世贸中心第一次遭遇袭击之后，我们才意识到这也许是一次恐怖袭击。直到第二座高楼被袭击之后，我们才相信确实遭遇了恐怖袭击。
1704438324
1704438325
贝叶斯定理可以复制这个结果。比如，在第一架飞机撞击大楼之前，我们预测曼哈顿的高楼遭遇恐怖袭击的概率只有1∶20000或0.005%。当然，我们还是会认为世贸中心意外遭遇飞机撞击的概率是非常低的。人们靠经验也能准确地预测出0.005%这个数字：9月11日之前的25000天，一直有飞机盘旋在曼哈顿的上空，而期间只发生了两次这样的意外事故：一次是1945年的美国帝国大厦事件，另一次是1946年的川普大厦事件。这样看来，此类意外事故的日发生概率只有1∶12500。在第一架飞机撞上世贸中心大楼的那一刻，如果用贝叶斯定理计算这些数据（表8–3A），发生恐怖袭击的概率便会从0.005%剧增至38%。
1704438326
1704438327
表8–3A 贝叶斯定理——遭受恐怖袭击的例子
1704438328
1704438329
先验概率
1704438330
1704438331
恐怖分子驾机撞击曼哈顿世贸中心大楼的初始概率预估
1704438332
1704438333
x
1704438334
1704438335
0.005%