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在min p·x处，有
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1704633818
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因此
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1704633822
1704633823
例2：由求支出函数e（p，u），并且验证谢泼特引理。
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1704633825
解：
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1704633827
1704633828
1704633829
1704633830
拉氏函数为
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1704633832
1704633833
1704633834
1704633835
1704633836
即
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1704633838
代（E.4）进（E.5），有
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1704633840
1704633841
1704633842
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1704633844
运用可以得出
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1704633846
1704633847
1704633848
1704633849
将（E.7）代入（E.5），有
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1704633853
1704633854
（E.7）与（E.8）只取决于p与u，所以，它们是关于x2与x1的希克斯需求函数。
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1704633856
我们将（E.7）与（E.8）代入支出函数问题的目标函数，就可得到
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1704633858
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