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【引理3】
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证明：设p＝p0，u＝u0，xh表示p0·xh解决了e（·）的问题，因此在u＝u0时，p0·xh＝e（p0，u0）。由引理1，e（p0，u0）＝e（p0，v（p0，y0））＝y0，所以，xh解决了（p0，e（p0，u0））时的效用极大化问题。因此xh＝xi（p0，e（p0，u0））。（证毕）
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现在来证明公式（3.1）：
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因为（引理3），所以，当p≫0时，可以对xj的价格pj求偏导，从而
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由引理1，e（p，u*）＝e（p，v（p，y））＝y。
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再利用谢泼特引理即公式（2.9），由于u*＝v（p，y），可知
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又由公式（3.4）知所以
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从而
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移项可得公式（3.1）
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斯拉茨基公式揭示了可观察的马歇尔需求函数与不可观察的希克斯需求函数在面临价格变动时的相互关系。它有许多应用。
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二、若干说明
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1．对引理3的说明
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在前述关于斯拉茨基公式的证明中，关键是引理3（公式（3.4）），斯拉茨基公式是（3.4）式两边对pj求偏导而得到的。而关于引理3，我们作如下说明：
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引理3实质上讲了马歇尔需求函数与希克斯需求函数之间的关系。马歇尔需求函数的表达式为xi（p，y），这是从有约束的效用极大化问题推导出来的；而希克斯的需求函数是根据谢泼特引理来的，即从图2.5与图2.6知，是当效用目标固定为由于价格pi变化而产生的需求。为了使支出最小，只好用改变了的相对价格线与同一条无差异曲线去相切，这样由不同切点所对应的关于xi的需求函数是剔除了价格变化的收入效应的，于是中只包含价格变化的替代效应。