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1704635620 上式是说，r·K是保险公司稳获的保险费收入；在P的概率下出现灾祸，则保险公司会赔P·K；在（1－P）的概率是平安无事，保险公司分文不赔。也就是说，若上述期望利润为零，则r＝P。

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1704635622 将r＝P代入公式（5.13），我们就会有

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1704635628 从上式两边约去就可得

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1704635633 公式（5.16）是说，当消费者在不确定条件下消费行为达到最优时，必有其在两种状态下的边际效用相等。这实质上给出了风险决策的一个基本原则。

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1704635639 但是，如何使消费者或投资者在好与坏两种可能的状态下的边际效用相等呢？惟一的办法是使（这里带星号是表示最优的财产水平），即设法使消费者或投资者在好坏两种可能性下有相等的财产值。如若不然，设则由边际效用递减原理知，必有反之亦然。当然，由效用函数u（w）的凹性，知u″（w）<0，从数学上不难推知满足（5.16）式的充要条件是

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1704635645 这里要特别注意的是最优点的位置。由于在讨论无差异曲线的斜率与预算线的斜率相等时我们用保险价格r（＝P）作为变量来表示预算线的斜率，因此，这里讲的最优是指你投保后的最优。这里讲的好状态与坏状态也是指你投保后遇上的好状态（没有灾祸）与坏状态（出现灾祸）。这个最优条件是指，在投保后，不论你是遇上灾还是没遇上灾，你的财产应一样。但是，千万注意，只有在r＝P，即保险价格等于发生灾祸的概率时，才可以说是最优条件，即是最优条件。如果r不等于P，则就不会有上述最优条件，或者最优条件要另外表达。

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1704635647 2．举例

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1704635649 例3：考虑汽车保险中的一个实例。某人的一辆汽车，在“没有遇上小偷”时的价值为100000元；如果“遇上小偷”，车子有损失，汽车的价值会下降至80000元。设“遇上小偷”的概率为25％，车主的效用函数形式为lnw。

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1704635651 问：（1）在公平保险价下，他买多少数额的保险才是最优的？

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1704635653 （2）保险公司的净赔率为多少？

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1704635655 （3）车主按公平保险费投保与不投保相比，其期望效用水平会有多少改进？

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