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（4）凸函数的性质是，对有
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图7.6 利润函数的凸性
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我们定义
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令y*与x*使利润在（pt，rt）时最大，于是
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（因为y*与x*在（p，r）时并不保证使π最大）
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同理
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这样
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这说明利润函数是关于（p，r）的凸函数。
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（5）（因为y是使利润最大的最优产量选择，所以）；
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（因为x是使利润最大的最优投入品选择，所以）。于是
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y*（p，r）即为供给函数。xi（p，r）为要素需求函数。
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（证毕）
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三、供给函数的求法
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事实上，我们至少有三种求供给函数的办法：
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1．从利润函数求供给函数
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由霍太林引理知，要求一家企业的供给函数，若已知生产函数形状，则第一步是求出该企业的利润函数；第二步是让利润函数对产品价格p求一阶偏导，结果就是供给函数。供给函数表达的是供给量y与产品价（p）及投入品价格集（r）之间的对应关系。