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但是,如果把策略的选择随机化,则我们会得到Nash均衡。如果B在策略F与策略C之间进行选择的概率密度各为则如A选择F,A的效用就为如A选择C,A的效用仍为可见,当游戏者B选择F与C的概率各为时,游戏者A选择F与C的效用是相同的,这说明A在这种条件下的最大效用为零,并且对F与C无差异。给定游戏者A对策略F与C无差别,说明A会以概率去选择策略F与C。但是,如果A以概率去选择策略F与C,则游戏者B在F与C之间也是无差异的,而且也达到了效用极大化(=0)。这就说明,如果游戏者A与B都以的概率来选择F与C,则他们各自都达到效用极大化。
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我们定义混合策略如下:
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对于游戏者i,其一个混合策略是一个概率密度函数σi∶Si→R,使得,对于所有的si∈Si,都有
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这就是说,游戏者i的混合策略是m个密度函数(如果游戏者i有m个可能的策略选择的话)。如第i个游戏者只有两个可能的策略选择,则其混合策略就只是p与(1-p)两个概率。
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对于i来说,所有的σi的集合记为Mi={σi}。
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【定义】 混合策略纳什均衡:如果对于博弈中所有的游戏者i,对于所有的σi∈Mi,都有则称σ*为一个混合策略的纳什均衡。
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【定理】 如果σ*是一个混合策略的纳什均衡,则对于具有σi给定的正概率的每一个策略si∈Si,都有ui(σ*)=ui(si,)。(证明从略)
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这个定理告诉我们:如果存在混合策略的纳什均衡,则当si具有发生的正概率(由i的混合策略给定)时,游戏者对于其可能选择的每一个纯粹策略si都是无差异的。根据这一定理,我们就很容易找出混合策略均衡。
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例7:考虑下列博弈:
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表10.7
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这个博弈有两个纯粹策略的纳什均衡:(U,L)与(D,R)。但是还有一个混合策略的纳什均衡。由前述定理,可知,如游戏者B选策略L的概率为q,选策略R的概率为1-q;则A的收益应满足
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如果游戏者A选策略U的概率为p,选策略D的概率为1-p,则B的收益应满足
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从式(10.7),可知
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