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【定义】 混合策略纳什均衡:如果对于博弈中所有的游戏者i,对于所有的σi∈Mi,都有则称σ*为一个混合策略的纳什均衡。
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【定理】 如果σ*是一个混合策略的纳什均衡,则对于具有σi给定的正概率的每一个策略si∈Si,都有ui(σ*)=ui(si,)。(证明从略)
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这个定理告诉我们:如果存在混合策略的纳什均衡,则当si具有发生的正概率(由i的混合策略给定)时,游戏者对于其可能选择的每一个纯粹策略si都是无差异的。根据这一定理,我们就很容易找出混合策略均衡。
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例7:考虑下列博弈:
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表10.7
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这个博弈有两个纯粹策略的纳什均衡:(U,L)与(D,R)。但是还有一个混合策略的纳什均衡。由前述定理,可知,如游戏者B选策略L的概率为q,选策略R的概率为1-q;则A的收益应满足
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如果游戏者A选策略U的概率为p,选策略D的概率为1-p,则B的收益应满足
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从式(10.7),可知
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从式(10.8),可知
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因此,与便是一个混合策略的纳什均衡。
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对于混合策略的纳什均衡,通常有两种解释。一种是,游戏者选择策略时本来就不是确定无疑的,而是具有一定的随机性。所以,在不同的策略之间的选择就带有概率。第二,混合策略是游戏者对于对手的策略选择的猜测,这种猜测的命中率当然带有偶然性。当双方对对方的策略选择都猜中时,双方也就各自达到了自身利益的极大化,这便是纳什均衡的含义。
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二、最大最小化策略(max min stratesy)
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这是一种保守的策略,又是风险比较小的策略。当游戏者想回避风险时,他会采取该策略。请看下列博弈:
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表10.8 最大最小策略
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两个游戏者A与B,如果B是理性的,就肯定会选择“右”,因“右”是占优于“左”的。如果A相信B是理性的,则A必定会选“下”,最后达到使A与B都收益极大化的结果(2,1)。
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但是,A这样决策时会有风险:如果B是以损害A为目标,则B知道A会选择“下”时会故意选择“左”,尽管B这样做自己并没有什么好处,反而比选“右”少得一单位利益,但B达到了损害A最厉害的目标。A如果估计到这一可能性,则还是保守一点为妙,具体做法是“两害之间取其轻”,即“最大最小策略”
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