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二、子博弈(subgame)
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【定义】 子博弈:一个子博弈是由三个要素组成的:(1)一个决策点(节),该点代表某一个游戏者的某一个信息集;(2)该点(节)以后的所有的决策点(节);以及(3)在终极点上的收益(payoffs)。
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在图12.1里,整个博弈可以看作是一个子博弈。但除此以外,还有两个子博弈:一是以B1点为始点的子博弈;另一个是以B2点为始点的子博弈。
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子博弈的定义在掌握上应注意:如果点x是某一个子博弈的初始点(节),果y是在x之后的后继决策点(节),又如果z与y属于同一个信息集,那么,z必定也是x的后继点(节)。下面两个例子中,图12.2(a)里的x定义了一个子博弈,但图12.2(b)里x则没有定义一个子博弈。
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图12.2(a) 点x定义了一个子博弈
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图12.2(b) 点x没有定义一个子博弈
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为什么图12.2(b)里的点x并没有定义一个子博弈呢?原因是z与y同属于游戏者3的信息集,点y属于点x的后继点,但点z不是点x的后继点。这就违反了子博弈的定义。
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三、子博弈完美纳什均衡
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【定义】 子博弈完美纳什均衡:一个策略组合是子博弈完美纳什均衡,如果它满足:
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(1)对于整个博弈来说,它是一个纳什均衡;
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(2)对于任一个子博弈来说,它都是一个纳什均衡。
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子博弈完美纳什均衡的要求比纳什均衡的要求要严多了。它是指在每一个由单个决策点所组成的信息集上,策略组合都是无懈可击的,是周密的。如果那样,当然是十全十美(perfect)的了。
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在我们讨论的“合作”博弈例子里(见图12.1),策略组合X={大,(大,大)}不是子博弈完美均衡。原因是:尽管X是整个博弈的纳什均衡,也是以B1为始点的子博弈的纳什均衡,但是,X是不以B2为始点的子博弈的纳什均衡。策略组合Z={小,(小,小)}也不是子博弈完美均衡。理由是:Z是整个博弈以及以B2为始点的子博弈的纳什均衡,但不是以B1点为始点的子博弈的纳什均衡,只有Y={大,(大,小)}属于子博弈的纳什均衡,理由是,组合Y在上述三个子博弈中,都是纳什均衡。
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为什么要引入“子博弈完美性”(subgame perfection)这一概念呢?理由有二:第一,它可以帮助我们认识到,某些纳什均衡的策略组合中可能包含了一些偏离均衡的行为,比如B方选择“不管A选什么,我都选择‘大’”,便包括了在A偏离“大”时B仍会选“大”的这种不合理性的行为。而“子博弈完备性”便把这种可能排除掉了。第二,“子博弈完备性”可以帮助我们排除掉一些“弱”的纳什均衡,即帮助我们在若干个或一群纳什均衡中精选一个纳什均衡。我们在第十讲里说过,纳什均衡可能存在但不惟一。在若干个纳什均衡中哪个最好?这要借助于“子博弈完备性”的概念。“子博弈完备性”要求在每一个由单独的决策节组成的信息集上,决策必须最优。在我们所讨论的“合作”博弈里,只要当A肯定不选“大”时,B是采取“如果A选‘大’,我选‘小’”,还是采取“如果A选‘大’,我也选‘大’”,这都是无所谓的,因这个“如果”并没有发生。这时,我们看不出B的这两个对策哪个优一些,哪个劣一些。但是,如果客观上A确有可能选“大”呢?如果是那样,则B采取后一种策略就优越得多了。Selten(1965年,1975年)就指出,即使A本来是想选“小”的,但由于行动时手哆嗦了一下,结果这只“颤抖的手”(trembling hand)选了“大”,那么,B若选“如果A选‘大’,我选‘小’”方针,就会倒霉。所以,同理,
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第二节 无穷次重复博弈与无名氏定理
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一、无穷次重复博弈框架里的“囚犯的困境”
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例2:考虑下面一个“价格战或价格串通卡特尔”的博弈,这是一个“囚犯的困境”式的范例。
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表12.3 价格战或价格串通
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如果这个博弈只进行一次,则惟一的纳什均衡是(低价,低价)。但是,非常显然地,当A与B两方都选择“高价”时,结果会对双方都有好处。我们之所以要讨论重复博弈,原因就在于,如果博弈的双方都意识到损人利己虽会给自己带来一时的好处,但会终止相互合作的好处,从而失去比暂时的利益大得多的长远利益,则合作便会出现。
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