打字猴:1.70464305e+09
1704643050 解规划(16.10)是我们在第一讲里已讲过的问题。但是,这里补充引入效用函数ui(x)的性质:
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1704643053 假定A:效用函数ui(x)在定义域上是连续的,严格递增并且严格拟凹的。
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1704643055 关于效用函数连续、严格递增,这是大家熟知的,有这两个假定,才有边际效用为正的结果。新的东西只是严格拟凹。什么是严格拟凹?
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1704643057 【定义】 严格拟凹函数:f:D→R是严格拟凹函数,当且仅当,对于所有的x1,x2∈D,都有
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1704643062 严格拟凹函数是说,从定义域内取任两点作一凸组合,则函数在该凸组合的值大于f(x1)与f(x2)中小的那个函数值。
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1704643064 效用函数严格拟凹的假定是指,若有u(x1)与u(x2),则u(tx1+(1-t)x2)>min{u(x1),u(x2)}。即两个消费计划的线性组合所对应的效用水平会优于原来较低水平的那个效用水平,其经济含义是取两个消费计划的某一组合,会使消费者的效用水平至少比原来较差的消费计划有若干提高。
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1704643066 接下来,我们引入一个定理:
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1704643069 【定理】 需求函数的基本性质:如果效用函数ui满足假定A,则,当价格向量p≫0时,消费者的问题(即式(16.2))便存在一个惟一解xi(p,p·ei)。同时,xi(p,p·ei)对于p在定义域上是连续的。
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1704643072 该定理中xi(p,p·ei)其实就是马歇尔需求函数xi(p,y),只不过y=p·ei。该解的存在性来自于p≫0,因此预算集是有界的。惟一性来自于ui的严格拟凹。x(p,p·ei)的连续性来自于极大化定理。我们在此不证明了。要注意的是,需求函数x(p,p·ei)对于p连续的性质要求p≫0,价格向量中的每一维价格必须是大于零的,即在定义域上。为什么?如其中有一种价格等于零,那么可能对某商品的需求量会无限大,这会破坏需求函数的连续性。
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1704643074 在瓦尔拉斯1874年关于一般均衡存在性的证明过程中,他运用的是建立需求函数与供给函数的联立方程式。今天,这种证明通常是用更为方便的超额需求函数形式。因此,我们引入超额需求函数的定义。
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1704643076 2.超额需求函数的性质
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1704643078 【定义】 超额需求(excess demand)函数:对于市场k来说,其超额需求函数是一个实函数
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1704643083 整个社会的总超额需求为一个实值函数
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1704643088 换言之,对于第k种物品的市场来说,超额需求就是所需量超过社会可供量的差额。
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1704643090 超额需求函数具有下列性质:
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1704643092 【定理】 超额需求函数的性质:如果对每一个消费者i来说,ui满足假定A,则对于所有的价格向量p≫0,都有:
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1704643094 (1)连续性:Z(·)对p是连续的;
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1704643096 (2)零次齐次性:Z(λp)=Z(p),对于所有λ>0;
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1704643098 (3)瓦尔拉斯定律:p·Z(p)=0
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