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集合Sε具有紧（compact），凸（convex）与非空（nonempty）三个性质。“紧”来自于下列两个原因：第一，Sε是闭的，当ε→0时，极限点仍在Sε内；第二，Sε是有界的，因凸性亦可以得证，设p1与p2为Sε内两个价格向量，则看λp1＋（1－λ）p2（λ∈（0，1）），第一，第二，所以，凸性也是满足的。非空性也可以证实，我们找出一个价格向量，令每一维价格都为则并且因ε<1。这说明Sε是非空的。
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以上的工作是确定p的定义域，该定义域的集Sε是紧、凸以及非空的。然后在该定义域的集合Sε上定义一个函数fk（p），让fk（p）满足某些性质，就可以找出不动点。我们设
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并且令f（p）＝（f1（p），f2（p），…，fn（p））。于是，有且因为对每个m，从而因ε<1。这样，函数f（p）的值域也是Sε。然而，由上面的讨论知，f（p）的定义域即p的取值范围也是Sε。即f: Sε→Sε。
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接下来分析函数fk（p）的性质：fk（p）在Sε上是连续的。为什么？根据定理中的条件1，Zk（p）是连续的，当然，也是连续的。因此，定义fk中的分子分母都在Sε上连续。而且，分母总大于零，原因是，分母至少等于1。这样，fk（p）是连续的。
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综上所述，我们运用Brouwer的不动点定理已经万事俱备。Brouwer不动点定理是说，如果一个连续函数在非空、紧、凸的集上射影到该集本身，则该函数必定有一个不动点。在我们这里，这即是说，必定存在一个向量pε∈Sε，使得f（pε）＝pε，或者，等价地，对于所有的k＝1，2，…，n，有
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但是，这就是说
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即
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到此为止，实质上我们已经证明，对任一ε∈（0，1），在Sε里存在一个价格向量满足式（16.26）。
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现在，令ε→0，考虑相应的满足（16.26）的价格向量序列｛pε｝。首先，这一序列是有界的。其原因是，pε∈Sε意味着每一市场上的价格都处于零与1之间。其次，由实变函数论知道，实数域紧集上任一有界序列必定收敛，因此，｛pε｝必定收敛。令｛pε｝收敛的极限点为p*。
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p*必然满足p*≠0这一性质，因为我们要论证p*≫0。而这需要运用定理中设的条件3。
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我们运用反证法来证明p*≫0。设p*不满足p*≫0，则对某几种物品，但条件3说，这时必然会存在使得超额需求Zk′（pε）在ε→0时没有上限。
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请注意，因为pε→p*，所以，实质上意味着于是，（16.26）的左端当k＝k′时必然趋于零，原因在于，左端方括号内的式子是有界的。但是，（16.26）的右端则不会趋于零，其原因是，Zk′（pε）是没有上限的，由的定义知，必然会无穷次地重复1，无穷次重复是由ε→0时价格点的无穷序列产生的。显然，（16.26）的左端与右端便会不相等。这是矛盾的。我们从而得出结论：p**≫0。
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到此为止，我们已经证明：
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第一，当ε→0时，pε→p*，并且p**≫0；
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