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这里,不等式来自于我们对于Z的定义,后面那个等式来自于瓦尔拉斯定律。
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现在,固定住ε∈(0,1),令
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Sε是我们为寻找一般均衡而构造出来的。我们试图在Sε里找出满足Z(p*)=0的p*。图16.3是对Sε在只有两类物品时的一种图示。请注意,所有在负象限内或接近于负象限的价格都被排除在Sε之外,并且,当ε→0时,Sε会包含越来越多的价格点。因此,让我们允许ε→0时,我们寻找均衡价格p*(p1*,p2*)的视野会越来越开阔。
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图16.3 在上的Sε集合
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集合Sε具有紧(compact),凸(convex)与非空(nonempty)三个性质。“紧”来自于下列两个原因:第一,Sε是闭的,当ε→0时,极限点仍在Sε内;第二,Sε是有界的,因凸性亦可以得证,设p1与p2为Sε内两个价格向量,则看λp1+(1-λ)p2(λ∈(0,1)),第一,第二,所以,凸性也是满足的。非空性也可以证实,我们找出一个价格向量,令每一维价格都为则并且因ε<1。这说明Sε是非空的。
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以上的工作是确定p的定义域,该定义域的集Sε是紧、凸以及非空的。然后在该定义域的集合Sε上定义一个函数fk(p),让fk(p)满足某些性质,就可以找出不动点。我们设
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并且令f(p)=(f1(p),f2(p),…,fn(p))。于是,有且因为对每个m,从而因ε<1。这样,函数f(p)的值域也是Sε。然而,由上面的讨论知,f(p)的定义域即p的取值范围也是Sε。即f: Sε→Sε。
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接下来分析函数fk(p)的性质:fk(p)在Sε上是连续的。为什么?根据定理中的条件1,Zk(p)是连续的,当然,也是连续的。因此,定义fk中的分子分母都在Sε上连续。而且,分母总大于零,原因是,分母至少等于1。这样,fk(p)是连续的。
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综上所述,我们运用Brouwer的不动点定理已经万事俱备。Brouwer不动点定理是说,如果一个连续函数在非空、紧、凸的集上射影到该集本身,则该函数必定有一个不动点。在我们这里,这即是说,必定存在一个向量pε∈Sε,使得f(pε)=pε,或者,等价地,对于所有的k=1,2,…,n,有
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但是,这就是说
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