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设一个由N个人组成的社会，又设一项公共品的提供或外在性的克服给其中M个社会成员（M
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因此，细分起来，“自愿谈判”的过程是一个“两阶段动态博弈”：第一步是每个个人的完全自由的“参与”决策，这个博弈是非协同博弈；第二步是公开的协同的博弈，是决定参与谈判的当事人之间谈判决定是否提供公共品。
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这里，“自愿谈判”的过程是严格按科斯的“交易成本为零”的假设进行的，即一旦众人对外在性的处理与公共品的提供而形成协议，该协议的执行与贯彻就是无成本的，并且，实施是可靠的。又假定公共品的提供数量是离散的，非连续的。如果一个由N个人组成的社会中有M个成员最后到会，或者有更多的人到会参与谈判，决定提供公共品且分担，则对这些与会者来说，将外部性问题解决，提供公共品，便是最优的决策。在这一层次上，与科斯定理的“有效性”命题不相冲突。但问题不在这第二步的决策上，而在它之前的第一步决策上，即在参与不参与谈判这一环节上，社会成员中会出现“搭车者”，而正是这一环节上的问题，会最后动摇“有效性”的命题。
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四、迪克塞—奥尔森一次博弈模型
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现在，我们便来分析迪克塞—奥尔森（Dixit-Olson）（2000年）模型的技术细节。这个模型的数学工具，只是二项分布的概率，同时运用了博弈论中的一些基本范畴。这里，只分析一次博弈。
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1．模型的基本描述
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设由N个成员组成的社会。假定提供一种公共品可以对每个社会成员带来的利益为V，而生产公共品的总成本为c。令M为满足不等式MV>c的最小正整数。M代表什么？它代表为了使该项公共品的提供得以实现，社会所需要的最低限度的支持人数，所以，M是公共品提供的谈判最起码的参与规模，如果参与谈判的人少于M，则MV>c这一关系就实现不了。于是，有关系式
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这里，MM，必有NV>c。这就打下一个伏笔：如果在选择“参与”与否这一阶段的博弈中，决策参与自愿谈判的社会成员数小于M，则到会的集体就不足以有动力去提供公共品，因为（M－1）V
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这种提问与思考方式，决不是无的放矢。事实上有许多公益的事情或有利于进步的社会改革，就由于参与的人太少而搞不起来。改革在中国已经二十多年，为什么要经历如此循进的改革，其中一个原因是：本来可以让全社会成员受益的改革在起初大概只让少数人认识到有益，而如果这少数人（小于M）从改革中所获得的好处小于改革总成本，又要全部承担改革总成本，则改革就会无动力推动。从而，改革需等待，改革需积蓄力量，使参与改革的人数大于或等于M，改革就会搞起来。
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再看每个社会成员在第一阶段的决策的策略集。他有两个选择：参与（in）或不参与（out）。“参与”就是决心共同分担公共品的社会成本，而“不参与”就是做“免费搭车者”：只分享人家提供的公共品的好处，而自己不出一分钱。
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“参与”或“不参与”的决策的回报（payoff）是什么呢？这取决于别人是选择“参与”还是“不参与”。
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如果你选择参与，而社会上选择参与的其他人的数目为（M－1），则加上你，就满足MV>c，则公共品在第二阶段（集体讨论与谈判阶段）就可能通过被“提供”。这样，个人“参与”的回报便是因为总成本是均匀分摊的。如果你选择参与，而社会上选择“参与”的人数n>M，则你选择“参与”的回报为如果你选择“参与”，而社会上其他人选择“参与”的人数小于（M－1），则社会会无动力去张罗与组织公共品的提供，则你选择“参与”的回报就是零，这里，选择“参与”也不亏，因为假定“交易成本为零”：你去参加谈判会，但一到会场发现与会者人数太少，估计公共项目或治理北京沙尘暴这样大的公益项目肯定搞不起来，你于是就回家睡觉，开个会的成本这里忽略不计了。
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如果你选择“不参与”（out），又如果社会上其他选择“参与”的人数为M或M之上，则做“搭车者”的“不参与”之举便会使你获得V的“回报”。如你“不参与”，而别人参与的人数不足M，则你选“不参与”的回报为零。
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所以，如从静态来看，“不参与”似乎已经占优于“参与”了，但仔细说来，“参与”与“不参与”对于对方（其他社会成员）“参与”的依赖性是不同的：“参与”这一选择的回报取决于别人参与的人数大于等于（M－1），而“不参与”的回报的条件是别人参与的数目大于或等于M。因此，在数学分析上，还很有讲究，我们不应匆忙下结论。
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再看第二步决策：一旦你选择了“参与”，你便无私人信息，也无能力去从事机会主义行动。这对所有人都一样：一旦参与了谈判，就要分担公共品的成本，差别只在于，当别人不参与的状况已明了时，与会者是否会坚持到底，去提供公共品？
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由于这是一个两步决策的动态博弈模型，所以，从方法论上讲，要按“反向归纳”法，来解均衡。迪克塞—奥尔森（Dixit-Olson）证明，在MV>c>（M－1）V的条件下，如果社会人数N远远大于M，则免费搭车者的问题便会非常严重，以至于最后危及科斯定理中“有效性”命题的成立。
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2．模型的分析
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首先应当指出，该模型有一个纯策略均衡，这就是：如果M≥2，则当社会中的其他成员都选择“不参与”时，剩下的那个社会成员也应选择“不参与”。因为，若你选择“参与”，则你就必须单独承担提供公共品的全部成本，你的所获是V－c。由于（M－1）V
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上述结论，已经与科斯定理相抵触了。即如果让大家“自愿谈判”，未必会实现提供公共品的帕累托有效解。
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但事实上，还有另外的“混合策略”均衡与科斯定理的“有效性”命题相抵触。这里假定，所有社会成员都一样，最后有一个对称的混合策略均衡。这个假定的设立，是为了使分析简便。
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我们设社会最后决定提供公共品（克服外在性）的概率为P。由混合策略均衡的定义知，在均衡时，社会最后提供公共品的概率必然小于1。既然是P<1，这就从根本上否定了“自愿谈判”会达到“充分有效”，因充分有效就等价于提供公共品的概率为1。但Dixit-Olson的模型的力量还不止于此，他们发现，在大多数场合，提供公共品的概率不仅小于1，而且接近于零，这等于是说，“自愿谈判”的均衡结果是接近于“总体无效”。这后一点对科斯定理有效性命题的否定，是更为致命的。
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我们用概率论来仔细地分析这种“总体无效”发生的机制。
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