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我们从任意一天市场隐含波动率表面开始，如图14-2所示。然后我们构建类似图14-8所示的二叉树。在树形图中，每个指数点位和未来时间点上的每个阴影三角形都代表一个不同的局部波动率，波动率的大小用阴影部分的深浅来表示。更高的指数点位对应更低的波动率（颜色越浅），更低的指数点位对应更高的波动率（颜色越深）。究竟应该选择怎样的颜色深浅以使其与图14-2中的初始隐含波动率曲面相匹配呢？这就是问题所在。
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图14-8中的局部波动率是树形图的一个局部特征，是在每一个单独的小内部三角形中微观视角下的波动率。相反地，图14-2中的隐含波动率是一个全局性特征，是从3万英尺远的地方对所有内部三角形宽视角下的波动率。我们将某只期权的隐含波动率视为在期权存续期内，指数将要经历到的所有局部波动率的平均值[1]。
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图14-8 一个有着变化局部波动率的隐含二叉树
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树形图中阴影三角形代表着局部波动率。
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考虑一个期权，它的到期日和执行价格对应于图14-9中树形图里位于倒数第二列的手电筒所处的时间和指数点位。它的隐含波动率取值就取决于右侧那一列阴影三角形的那些局部波动率的数值，这一列阴影三角形就是在期权存续期内，指数朝着期权执行价格方向移动可能经过的局部波动率区域。假设存在一个X射线源可以将树形图中所有位于右侧带状阴影三角形区域内的局部波动率照亮，那么把在手电筒位置上到期的期权想象成这个X射线源的想法是很有帮助的。
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同样地，执行价格位于图14-10中树形图提灯位置上的期权，照亮位于左侧带状阴影三角形里的局部波动率。
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图14-9 到期期限和执行价格位于圆弧上的期权的隐含波动率照亮位于树形图右侧区域内的局部波动率
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图14-10 到期期限和执行价格位于提灯位置上的期权的隐含波动率照亮位于树形图左侧区域内的局部波动率
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执行价格位于手电筒位置的期权照亮了树形图的一部分，而执行价格位于提灯位置的期权照亮了另一部分。但没有一只期权，无论是执行价格位于提灯位置还是执行价格位于手电筒位置，都只能照亮树形图中一个三角形，这个单一节点上的波动率就是我们希望找到的模糊目标。
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我们继续努力。我们希望得到一组期权能够照亮每个内部节点上的波动率。但我们尝试的每种方案都失败了——似乎对于单一节点上的局部波动率而言，看上去似乎没有办法了。
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后来有一天，当我们在电子表格上摆弄一个五列的树形图模拟版本时，我们发现奇迹发生了。事情如此奇怪，我们在几分钟时间内还以为是由于电子表格编程出了错误。我们几乎完全是偶然地注意到，如果我们用三个执行价格完全不同的期权来照亮树形图内部的时候，其中两个期权的执行价格相近，位于前面，另外一个期权的执行价格滞后一个时间点。这样说吧，如果我们从三个不同角度向树形图内部发射X射线的话，那么只有它们相交叉的那一节点之外，所有其他地方全都照不亮，如图14-11所示。这一发现令人惊奇：我们已经找到了确定某个节点上局部波动率的运算方法，那就是根据该节点周围三个节点上不同执行价格的期权的市场隐含波动率来计算。
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图14-11 三个期权如何才能照亮一个节点
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现在我们知道了如何一步一步找到每个局部波动率了。我们可以选择隐含树形图中任一节点，从市场隐含波动率曲面上找到环绕这个节点的三个期权的隐含波动率值，然后通过我们的算法就能得到这个节点的局部波动率。利用这个方法，一次一个节点，我们可以找到所有局部波动率。通过这些局部波动率以及它们所处的隐含二叉树树形图，我们就能用与波动率微笑相一致的方法，对任何指数期权进行估值和对冲。我们兴高采烈，相信自己已经在期权定价领域取得了又一个重大突破，这个突破拓展了布莱克-斯科尔斯模型，使其与实际保持一致。
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我们并不是唯一兴奋的人。在过去的一年里，马克·鲁宾斯坦和布鲁诺·杜佩尔也开发出了类似的布莱克-斯科尔斯模型扩展形式。几个星期之后，马克在1994年1月的美国金融协会的会议上，发表了主题为“隐含二叉树”的演讲。在接下来几年中，通过与他的谈话，我了解到他也意识到他已经取得了一项重大突破。
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几乎是在相同的时间，约翰·赫尔给我寄了一份几周前，布鲁诺在国际金融工程师协会（IAFE）组织的一次纽约会议上所做的演讲稿复印件，布鲁诺的演讲内容是关于另外一个版本隐含树形图的。在这份演讲稿中，布鲁诺也声称发现了一种独特的方法，能够从隐含波动率中求出局部波动率来。
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我们中的每个团队或个人——伊拉杰和我、马克、布鲁诺，分别采取了风格完全不同的方式解决了这个逆散射问题。伊拉杰和我已经习惯于与投资银行领域内的用户打交道，他们都是些数学能力不强的交易员、销售人员和客户，因此，我们尽可能将我们的论文写得简单和清晰。我们希望任何人读完这篇文章之后，都能知道到底应该怎样构建自己的隐含树形图。我们一步一步地解释清楚，到底怎样构建树形图以及怎样对树形图进行调校以使其适用于特定波动率曲面，而且，我们用一个已经全部计算出数字结果的、包括五阶段的树形图作为例证，这样任何人都能进行检验。
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马克的主题演讲过于注重论证，学术性较强，而且还阐述了这个问题的历史演变。他对这个逆散射问题的最初解法是，重点考虑将某一到期时间的所有市场隐含波动率进行匹配，因此忽略了暗含在隐含波动率曲面上的其他附加信息。
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布鲁诺在国际金融工程师协会会议上的演讲则最折磨人。由于是个法国人，他偏好使用规范的数学方法。他那非常简短的报告提出了一个优雅的公式，公式根据相同执行价格和到期时间的隐含波动率曲面上的斜率和曲率来求得局部波动率。他的论文并不容易理解，而且我了解到的人里面也没人可以肯定他的结论就是正确的。有时，我想他是故意弄得晦涩难懂，没有给出明确的公式推导过程，而直接给出标新立异的结论。
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我们研究了布鲁诺的报告，很快意识到他那简明的公式完全等同于伊拉杰和我在离散树形图上所开发出来的结果。只不过在他使用微积分的地方，我们使用的是代数。尽管重要性或伟大程度上不能相提并论，但我们的角色就像是费曼之于施温格或布莱克和斯科尔斯之于默顿。在我们论文后面的附录中，我们重新推导了布鲁诺的结论，并增加了一个更加容易让人明白的证据，以及对他工作的引用。
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