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1993年12月末，布鲁诺、伊拉杰和我分别向《风险》杂志的格雷厄姆·库珀提交了各自的论文。布鲁诺的论文刊载在《风险》1994年1月刊上，并被加上了一个编者按，说伊拉杰和我的文章将刊载在随后的2月刊上。1月刊上还有一篇格雷厄姆·库珀写的一页纸长度的新闻报道，评论马克、布鲁诺、伊拉杰和我所做的工作，将其称之为新的“超级模型”，还非常准确地描述了我们各自方法的优缺点。我们都被恰到好处地吹捧了一下。
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在之后的几年里，我们巡回参加各种学术讲座和会议。我在数十家大学的金融系和商学院里、维也纳期权交易所、数不清的业内会议上发表演讲。在日本、法国、瑞士、西班牙和意大利这些国家，交易员更加经验丰富，更喜欢了解量化理论，他们的销售人员带着我去见一拨又一拨的客户。我们在苏黎世和伦敦、毕尔巴鄂和巴黎、米兰和慕尼黑，给大型团体做一整天的学术讲座。这真是令人兴奋！
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伊拉杰和我与在1994年加入我们小组的另外两名前物理学家迈克·卡莫、邹乔一起，继续完善这一模型，并利用它对奇异期权进行估值。我们还与量化策略小组中的两名软件工程师丹尼斯·厄金纳和艾伦·巴科沃特一起，将模型嵌入到交易部门的交易软件中。最重要的是，我们努力将模型的数学特征概括成交易员能够接受的、发自内心的理解。由于他们所有的直觉都是基于布莱克-斯科尔斯模型，于是我们就开发出一系列简单的、近似的修正方法，交易员们可以利用这些来自于实践的规则来对布莱克-斯科尔斯模型稍加改动，就能应用到隐含树形图上了。
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事实证明，向我们的交易员解释模型远比向我们的客户解释模型困难。交易员非常繁忙，他们的生活主要是盯住屏幕，服务销售人员，将他们的交易指令输入计算机系统。每天他们都要做上几百笔或几千笔的新交易，通常要工作到深夜，以保证所有的细节在他们部门的前台风险管理系统和在公司层面保存会计账户和交易记录的后台主机之间完全准确、相互一致。相对于提高定价水平，他们对将自己生活中的记账记录部门进行自动化更感兴趣。
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交易员在模型使用方面是有决定权的，他们可以使用他们想要使用的任何模型，不需要原因或验证。如果你希望他们采用不同的比例对冲，证明的责任就在于你。他们并不愚蠢，只是有点门外汉的感觉，不喜欢使用他们自己不理解的新模型。可不幸的是，他们又不愿意在理解模型方面花时间。当交易员还没有使用模型时，很容易让他们使用最先得到的模型。一旦他们有了所依赖的模型，让他们再接受改进的模型就难了。
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即使布莱克-斯科尔斯模型会产生一个平坦的波动率曲面，但是他们仍然坚持使用单一波动率框架的布莱克-斯科尔斯模型来对奇异期权进行估值。为了弥补这一缺陷，他们将他们所剩的所有精力和直觉都用来选择一个“正确的”单一波动率，并将其应用到错误的模型中去。一位资深的交易员坚称，即使隐含树形图模型是正确的，布莱克-斯科尔斯模型是错误的，他也总是能够想办法找到合适的单一波动率，将这个波动率放入错误的模型中，从而得到一个期权的正确估值。因此，有一天我发现有一些特定的奇异期权，利用隐含树形图模型所得到的正确估值，完全超出了我们能从布莱克-斯科尔斯模型中所得到的取值范围，也是就是说，无论我们在布莱克-斯科尔斯模型输入怎样的单一波动率，都不能得到这样的估值结果。之所以产生这样的结果就是因为，对于这些期权而言，根本就不存在这样的单一波动率，能够从错误的模型中得到正确的结果。带着极大的喜悦和一点点复仇感，我向交易员们展示了这些例子。但这只是一个小小的胜利，因为它不能改变任何一个人的行为。
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到了2000年，当我致力于在高盛批准使用所有模型时，潮流开始发生转向。在高盛和它的竞争者那里，越来越多的交易部门都要为它们所使用的模型提供一些验证，以确保模型适合它们所在的市场。无论如何，在交易员和风险管理人员的角力中，交易员总是力量更大的一方。
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1994年年末的一天，交易员和宽客之间的紧张关系让我做了一件特别愚蠢的事情。那天，我一整天都在应付不耐烦的、我提供不了的系统支持方面的需求。那天晚上，我乘坐一辆机场巴士去肯尼迪机场赶乘一班去往维也纳的飞机，根据日程安排，我要在奥地利期权交易所组织的一次会议上发表主题为隐含树形图的演讲。登上飞机，坐在商务舱靠近过道的位子上，我总算是放松下来了。我被工作中持续的努力奋斗弄得筋疲力尽，发誓以后再也不任人摆布了。
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起飞前，正当我放松的时候，有一家三口在最后一分钟登上飞机，开始寻找他们的座位，但他们的座位并不相邻。那位年纪在五十几岁的绅士父亲坐在我右边靠窗的座位，他的儿子坐在与我相邻的、过道那边的座位上，他的妻子则坐在机舱很前面的地方。当我简单翻阅奥地利期权交易所会议议程的时候，这位父亲问飞机空乘人员是否有他们一家三口能够坐下的相邻的三个座位。最后，经过大约10分钟不成功的协商，他转向我，问我是否愿意与他的儿子交换一下过道的座位。我正恼怒于整天被人使唤来使唤去，我还记得我的“不再当老好人”的承诺，我就要坐在我选择的过道座位上，并不打算将它换给谁。于是我转过头，带着不适当的、顽固的表情回答说：“对不起，我要坐在我现在的位子上。”
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当我们起飞飞往维也纳的时候，我惊惧于自己那无意义的固执己见。我的座位和他儿子的座位都是靠过道的，我这样固执并没有得到什么好处。更坏的是，我现在让自己陷入了不幸的境地，因为在接下来的10个小时里，我就坐在我本没必要惹恼的人旁边。当我在内心琢磨着如何补救我所做的事情时，我充满了负罪感。
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我一边感到极度痛苦，一边继续翻看会议议程。然后我注意到，坐在我右边的男士从公文包里抽出了同样的会议议程，也开始翻看。我再一次看他的脸，突然意识到我就坐在鲍勃·默顿（Bob Merton）本人旁边。鲍勃·默顿是连续时间序列金融模型的开发者，还是哈佛大学教授兼长期资本管理基金合伙人。那天早上，我刚刚在他那本著名的《连续时间金融》（Continuous Time Finance）的内封面上看到他的照片，那本书我好像是读到了跳跃-扩散模型部分。
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我怀着羞愧之心扭头转向默顿，为自己的粗鲁行为道歉。但那时，他的儿子已经睡着了，换座位已经毫无意义，因此，我们就期权定价模型的发展历史聊了几个小时。尽管鲍勃非常和蔼、可亲，我还是因为展示了自己性格中令人不快的一面而羞愧难当。因此，在会议过程中，我发现自己总是有意无意地躲着他和他的家人。我向自己发誓，下一次我只会对那些应该强硬对待的人才表现出强硬。
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尽管马克、布鲁诺、伊拉杰和我是第一批利用局部波动率来解决波动率微笑问题的理论工作者，但还有很多其他人也有着相似的想法。特别值得一提的是，我碰巧看到由加拿大西蒙·弗雷泽大学（Simon Fraser University）的一位以色列金融学教授艾维·比克所写的一篇内容密切相关的文章。1994年11月，我在纽约大学名为“衍生品：前沿技术”的会议上发表演讲，当听到一本期权教科书的作者加利·甘斯梯纽（Gary Gastineau）谈到我们的模型使期权定价更加准确，从而提高了市场流动性时，我感到情绪高涨。尽管我们有生之年，见证了局部波动率成为一个家喻户晓的词以及成为教科书里讨论的主题，但我发现创造真正成功的金融模型远比我想象中的困难。
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由于考虑到了波动率微笑问题，局部波动率是对布莱克-斯科尔斯模型的一种改进，但它本身也有三个不足之处。第一，我们的新模型中没有考虑到指数或股票价格可能发生跳跃的情况，而现在绝大多数市场参与者将这种可能性视为决定极短期波动率微笑形状的主要决定因素。我们最初尝试对波动率微笑进行建模的时候，事实上曾考虑过这种跳跃的情况。但我们从来就没有喜欢过包括跳跃情况的模型——由于跳跃过于剧烈和不连续，不能有效对冲，当你将这种情况考虑在内时，你就不能保证跟布莱克-斯科尔斯模型之间保持一致性。但价格跳跃是事实存在的，忽略这种情况会使我们的模型不够符合实际情况。
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第二，隐含树形图非常难以调校。当你为了更精确地计算而尝试逐步构建网格连贯性更好的树形图时，通常你会发现局部波动率曲面出现剧烈的起伏，曲面上从点到点的变化会出现实际并不存在的波峰和波谷。过了一段时间，我们开发了平滑这些起伏的方法，但平滑这些起伏的需要又造成难以满足交易部门所要求的自动生成隐含树形图的要求。这些波峰和波谷产生的原因部分是由于我们没有考虑到价格跳跃。我们尝试的是针对稳定扩散形式中的剧烈现象建模，这就注定难以实现稳定的调校。
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第三，我们的模型忽视了波动率本身的随机属性。几年后，伊拉杰和我尝试通过对局部波动率加入一个随机成分来改进我们的隐含树形图模型，但这使得调校和计算更加复杂和难以处理。
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后来，我们发现可以通过局部波动率、跳跃、随机波动率或这三者的某种组合来得到波动率微笑。因此，局部波动率和隐含树形图并不是波动率微笑的“唯一”模型。多年以后，在曼哈顿的一次晚餐上，马克·鲁宾斯坦和我谈论起过去，我们都懊悔地嘲笑起我们曾经期望实现的结果和最终实践结果间的不匹配。
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无论如何，我最终还是很满意的。伊拉杰和我是最早一批为新奇现象提出一个统一模型的人，我们创造了一个新的框架和新的词汇，而且我们是在华尔街第一线而非悠闲的学术研究机构中实现这一切的。就像所有模型一样，我们开发的模型有些简单，它也没有讲出全部故事，但它是一个合情合理的、自身逻辑一致的小世界，它专注了股票波动率市场上一个真实的、核心的特征：当市场下跌时，波动率倾向于上升。局部波动率模型已经成为学术界和实务界所使用的标准工具库的一部分。
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20世纪90年代，波动率微笑问题扩散到几乎所有其他期权市场。在惧怕市场剧烈波动可能会伤害投资者的所有市场中——股票大幅下跌、金价大幅上涨、汇率和利率上下大幅波动——都出现了波动率微笑和倾斜的问题，我们的模型就成了能够解释这些特征中至少部门特征的原因，因此成了一个关键的工具。新千年快来的时候，波动率微笑模型到处可见，《风险》杂志所组织的会议上年复一年地将整场整场的研讨会主题定为波动率微笑。我在高盛衍生品分析小组内领导着一个由12位博士组成的团队，负责对整个公司衍生品业务中使用的定价体系和定价模型进行评估。我们很快发现每个交易部门都有自己的波动率微笑模型（它们全都不一样），还发现我们绝大部分的工作就是对这些模型进行验证。每个部门的模型都不相同，是因为它们所处的市场不同，由于市场自身独特的原因，每个市场都有自己特有的波动率微笑。股票市场惧怕股灾；经过多年低价的黄金市场惧怕金价短期内迅速上涨；在利率市场上，债券投资者惧怕高利率会使他们持有的资产贬值；而通常为客户担保最低利率的保险公司，则惧怕低利率水平会减少他们的现金流入；在货币市场上，投资者惧怕超过某一固定范围的大涨和大跌。每一种恐惧都是基于痛苦的经验之上，对应了一种不同的模式，也就需要一种不同的模型。不存在一种普遍适用的波动率微笑模型。
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多年前，当我开始意识到波动率微笑问题，并希望找到“正确”模型的时候，我曾询问过在其他公司工作的同事，问他们认为的正确模型是怎样的。但现在，存在这么多的模型，我不得不问得更加实际一点：不是“你相信什么？”，而是“当你对冲标普500期权时，你是用通过布莱克-斯科尔斯模型得到的套保比率，还是更大些或者更小些？”局部波动率模型得到更小的套保比率，而随机波动率模型倾向于产生更大的套保比率。对于奇异期权而言，模型的差异会被放大。
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2003年，在巴塞罗那的一个衍生品会议上，我主持了一个关于波动率微笑问题的小型圆桌讨论会，一共有15个人参加，包括来自全球衍生品部门的交易员和宽客。我向每一个人提出我的简单问题：当你对冲一份标普500期权时，你是用通过布莱克-斯科尔斯模型得到的套保比率，还是更大些或者更小些？我惊奇于虽然第一个波动率微笑模型已经出现了10年，波动率微笑几乎成为每个衍生品市场上的一部分，关于这个问题已经发表了上千篇论文，但是对于这个问题的回答大家仍不能达成共识。
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确实还没能达成共识。尽管我们知道更多的波动率微笑理论，我们仍处于一片被黑暗笼罩的平原之上，并不知道什么才是正确的。经过10多年与交易员和理论学家交谈，我已经困惑于“正确”究竟意味着什么。如果你是一个理论学家，你必须永远不要忘记，你正穿过一条不受法律约束的道路，这里的居民们并不尊重你的准则。在市场和理论间，我看到的矛盾之处越多，我就越能感觉到关于金融和人类世界的模型的局限性。
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[1] 数学上一种复杂的平均值，但实际上，它仍是一种平均值。
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