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如上所言，我的想法和一般同学的想法不大一样，也不见得是其他一流数学家的想法。但是有一点是所有学者都有的共同点：努力学习，继承前人努力得来的成果，不断地向前摸索。
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我年少时受到父亲的鼓励，对求取知识有浓烈的兴趣，对大自然的现象和规律都很好奇，想去了解，也希望能够做一些有价值的工作，传诸后世。我很喜爱以下两则古文：孔子“君子疾没世而名不称焉”；曹丕《典论·论文》“盖文章，经国之大业，不朽之盛事……是以古之作者，寄身于翰墨，见意于篇籍，不假良史之辞，不托飞驰之势，而声名自传于后”。立志当然是一个好的开始，但是如何做好学问是一个重要的问题，我有幸得到好的数学老师指导。当我学习平面几何时，我才知道数学的美，也对公理逻辑的威力叹为观止。对几何既有兴趣，做习题时都很成功，也从解题的过程中产生了浓厚的好奇心，我开始寻找新的题目，探讨自己能够想象的平面几何现象，每天早上坐火车上学时我都在思考，这种练习对我以后的研究有很大的帮助。中学时的训练对同学有很大的好处，培正中学出了不少数学名家。我们中学的老师在代数和数论方面的涉猎比较少，培正的同学在这方面的成就也相对地比较弱，由此可以看到中学教育的重要性。屈原说：“纷吾既有此内美兮，又重之以修能。”文章的格调和对学术的影响力与“内美”有关，可以从诗词、礼、乐、古文、大自然的环境中培养吸收。但修能需要浸淫于书本，从听课和与师友的交流中，可以发现哪些研究方向最为合适。找到理想的方向后，就需要勇往直前。
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当然，还要寻找好的问题。西方哲人亚里士多德在名著《形而上学》中说：“人类开始思考直接触目不可思议的东西而或惊异……而抱着疑惑，所以由惊异进于疑惑，始发现问题。”惊异有点像惊艳，但这种惊异一方面需要多阅历，一方面需要感情充沛，才能够产生。空间曲率的概念对我具有极大的吸引力，我从广义相对论中知道所谓里奇曲率的重要性。通过爱因斯坦方程，它描述物质的分布，这个方程的简洁和美丽使我惊叹，我认为了解里奇曲率是了解宏观几何最重要的一环，但几何茫茫，无从着手。有一天我很高兴地发现卡拉比在1954年时有一篇文章，叙述在复几何的领域中，里奇曲率有一个漂亮的命题，但他没有办法证明这个命题。当时我很兴奋，但也觉得它不大可能是对的，因为这个命题实在太美妙了。所有年轻的朋友都是这么说，甚至我的导师也是这么说。陈先生甚至认为这个研究方向的意义不大，我却固执地认为对卡拉比猜想总要找出一个水落石出的答案。直到有一天，经过大量的尝试后，我才发觉从前走的方向是完全错误的，于是反过来试图证明这个猜想。但要证明它，需要有基本的分析能力，我和郑绍远花了不少工夫去建立跟这个问题有关的估计，终于我在1976年完成了这个重要猜想的证明。这个猜想在1976年全部完成，我同时应用它解决了代数几何里的好几个基本问题。毫无疑问的，这是一个漂亮的定理，也打开了几何分析的一扇大门。当时我刚结婚，正在享受人生美好的时刻，独个儿欣赏这个刚完成的定理的真实和美丽，自身有如融入大自然里面，当时的心境可以用下面两句来描述：“落花人独立，微雨燕双飞。”由这个定理引起的学问，除了几何分析上的蒙日—安培方程外，在代数几何上独树一帜，以后在弦理论中成为一个重要的宇宙模型。在解决卡拉比猜想的同时，有一天我碰到从前在伯克利的同学米克斯。他是一个嬉皮士，两手各搂抱着一个少女，在系里的走廊上高高兴兴地走过来。我觉得此人极有才华，遂建议与他合作研究一个极小流形的古老问题。我们用拓扑学的办法解决了这个问题，反过来又用得到的结果，解决了拓扑学上一些重要的问题，再加上同学瑟斯顿的重要工作，竟然解决了拓扑学上著名的史密斯猜想。1976年可说是我收获极为丰富的一年，那年刚结婚，刚搬到洛杉矶，生活未算安定。由此可知，做学问不一定需要最安定的环境。
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在代数几何上得到一定成果后，我接触到很多代数几何学家，也开始了解这个学科的走向。卡拉比猜想是关于度量的猜测，我开始比较度量几何和复纤维丛上的度量问题，我猜想纤维丛也有类似于卡拉比猜想中的度量，它和纤维束的稳定性有关，乌伦贝克和我花了很长一段时间才将这个问题全部解决。（在这期间英国的唐纳森用不同的方法解决了二维的情形。）在完成这个问题后，我建议威滕考虑这个定理的物理意义。他当时认为这个定理的物理意义不大，但一年后他改变了想法，写了一篇文章解释它在弦理论上的作用，这个结果至今仍在弦理论上占据着很重要的位置。这篇文章花了乌伦贝克和我很长的时间，可说是经过极为艰苦的奋斗才完成的。乌伦贝克来普林斯顿访问我时，为了寻找这个问题的解法，竟然关在房间里三天之久。我和乌伦贝克的工作以后被推广，尤其是希钦引进希格斯场以后，成为代数几何和算术几何中强有力的工具。
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卡拉比猜想的一个重要结论是，代数空间具有很强的拓扑限制，如宫冈—丘不等式之类，从而有代数流形的刚性结果。我应用这个结果解决了古老的塞维里猜想。在这个基础上，我猜测某些代数空间有更一般的刚性结果，并提出用调和映射的方法来解决它。其实在更早的时候，我和孙理察已经在调和映射上做了不少工作，例如群作用的问题。当我向萧荫堂先生提出我的猜想和解决办法时，他起初并不相信这个方法可行，但是他还是循着这个路径去解决了我猜想的一部分。以后约斯特和我，以及萧荫堂和他的合作者更成功地将调和映射应用到一些更经典的刚性问题上去。
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1984年弦理论在理论物理学中广受重视后，我的好几个相关工作受到理论物理学家的关注，物理学家对数学的洞察力也使我惊诧，在我的博士后中，有十多位是物理学博士，我从他们那里学习物理。最令我惊讶的一次是，其中一位博士后布莱恩·格林跑到我的办公室，向我解释他最新的发现，就是在卡拉比—丘空间中，存在所谓镜像对称的观点，这个发现对代数几何有极大的冲击。由它导出的一条漂亮的公式，从全新的角度解释了代数几何里百年来不解的现象，但物理学家没有办法给出一个证明。六年后在众多数学家努力的基础上，刘克峰、连文豪和我终于找到一个满意的证明。但是我觉得对镜像对称这个现象还没有最深入的了解。两年后，斯特鲁明格、扎斯诺和我终于找到这个对称的几何解释，引起了一连串重要的突破。可是，镜像对称在数学上到现在还没有严格的证明。扎斯诺是跟随我的博士后，他以后成为西北大学的教授。当时我和他还做了一个重要的工作，从弦学上“膜”的观点，我们找到一个所谓丘—扎斯诺公式。这个公式可以用来计算K3曲面上的有理曲线的个数。公式由数论中的某些著名的函数给出，这是数论函数出现在计算曲线数目的第一次，以后很多代数几何学家继续这个研究，将这个公式推广到更一般的情形。
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与物理学家合作是愉快的经验，可以有跳跃性的进展，而又不停地去反思，希望能够从数学上解释这些现象，在这个过程中往往扩展了数学的前沿。
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过去二十多年，我也花了一些工夫去做应用数学的工作，一方面和金芳蓉在图论上合作，一方面和弟弟成栋研究控制理论，近年来更和顾险峰等合作做图像处理的研究。这些工作都和我从前研究的几何分析有关，尤其是我和李伟光研究的特征函数的问题，起源于当年我在斯坦福研究调和函数的梯度估计。我还记得傍晚时我躲在办公室里，试验用不同的函数来算这些估值，舍不得去看斯坦福校园落日的景色。
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斯坦福的校园确是漂亮，黄昏时在大教堂的广场，在长长的回廊上散步，看着落日熔金、芳草连天的景色，心情特别舒畅。我早年的工作都在这里孕育而成，除了卡拉比猜想外，还有正质量猜想的证明。1979年的夏天，我和孙理察住在他女朋友在洛斯阿尔托斯的家里。白天我们将这个猜想的证明逐步写出来，到了晚上十时多才回家，去游泳池游泳。在这段日子里，我们也将正纯量曲率空间的理论完成。
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做科研虽要付出代价，但其乐无穷。先父的心愿是：“寻孔颜乐处，拓万古心胸。”我只知自得其乐，找寻心目中宇宙的奥秘。陶公云：“衣沾不足惜，但使愿无违。”可谓深得我心。
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2009年12月于湖南长沙演讲
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我的几何人生（丘成桐自传） 在清华大学2020届数学科学系毕业典礼上的讲话
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各位同学：
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今天很高兴，恭喜你们毕业。这是你们人生的里程碑之一，也是一些同学的数学生涯的开始，希望你们都能取得辉煌的成绩。
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1927年，清华大学创设数学系，培养了陈省身、华罗庚、许宝騄等一代大师，创造了辉煌的历史。九十多年后，尤其是现在这个时刻，是关键的转折点。
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当今疫情席卷全球，世界上的主要国家都受到严重的挫折，经济、人口流动等社会的多个方面都在改变。美国是最先进的国家，亦不能幸免于难。其中最富裕的高校—哈佛大学，拥有450亿美元的基金，但现在大部分经费都不能启动，且至今已有数亿美元的损失，预计到明年损失将高达7.5亿美元，这意味着哈佛要冻结大部分长期教职的聘任，而其他的美国学校也遇到了同样或更大的困难。不少大学管理者预期，今年秋天以后，很多大学可能会因承受不起经济方面的打击而关闭，这将撼动全世界的教育和研究系统。
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中国人可以从字面上将“危机”理解为：有危险就有机遇。在目前的形势下，中国经济也会受挫，高校亦会遇到经济困难，但中国的体制与欧美诸国不一样。从前美国的优势在于私立学校的独立办学，但在遇到困难的时候，他们就各自为政，不会帮助对方，而中国的体制能确保国内主要的大学协同发展，共同培养人才。
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今日的毕业生要面对的第一个现实是：华裔学者在美国高校生存的环境将比从前差很多。因为美国的高校除了经济困难以外，现在还遇到种族平等的问题。对于今年毕业的学生，若要到国外去留学，我赞成，但请你们不要忽视上述的现实。假如你们要去的是第一流的学校，像哈佛大学、麻省理工学院、普林斯顿大学、斯坦福大学等，我觉得还是很值得去的，因为那里有很好的老师和环境；但如果是去国外的普通高校，相比之下，清华大学的水准和氛围其实要好得多。这十多年来，我们的努力是很有成果的。清华大学数学科学系、数学科学中心聘请和培养了一大批杰出的数学家，尤其是年轻学者，他们完成的论文都是世界第一流的，而且我们的学风能够比得上世界顶尖的大学（包括哈佛在内）。因此，你们在清华做研究不会比在国外差。虽然我刚才鼓励你们去世界顶尖的大学，但去不了并不代表有很大的损失，至少国内也能提供同样的研究氛围。
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到其他地方学习是美国名校的传统，比如哈佛，它并不希望本校的本科生留在哈佛念博士，而是鼓励学生去新的环境学习不一样的学问，感受不一样的学术风气，让他们有更宏大的看法和创新的思维，我觉得这一点是很重要的。但对于中国，我们首先要让研究生能够在本土完成第一流的研究。就清华而言，数学科学系或数学科学中心能否跻身世界的顶尖行列，关键在于能不能培养出第一流的研究生。回顾哈佛大学数学系的历史，近代美国数学发展的重要转折点是1915年哈佛的伯克霍夫解决了限制性三体问题（restricted three body problem），这是庞加莱去世后，数学家在动力系统（Dynamical Systems）方面做出的最重要的工作成果。伯克霍夫一辈子没离开过美国，在他以前，美国主要是派留学生到欧洲，虽然他们也做出了不错的成果，但直至伯克霍夫，其研究成果才真正影响了整个美国的数学发展。美国数学家从此有了自信心，不一定要派留学生到国外去也可以完成举世瞩目的工作。伯克霍夫发表了这个工作成果以后，在哈佛培养了一大批世界一流的博士生，如哈斯勒·惠特尼、马斯顿·莫尔斯、查尔斯·莫里等，推动了很多奠基性工作在哈佛创立。能查到的伯克霍夫的学生，及其学生的学生，如今已超过九千人，而在美国真正做研究的数学家不会超过两万人。这表明从伯克霍夫开始，美国数学的学风和基础已形成。我期盼清华也能产生像伯克霍夫那样开风气之先的领航者，希望我们的研究生或者本科生也能够在清华念书期间完成如此重要的论文。
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清华的学风其实很开放，同时能创造自己的环境。翻阅清华的历史，我最佩服的是清华四大国学导师之一的王国维，他是留着辫子的遗老，没拿过任何学位，但学问是崭新的，是20世纪融汇中西方学术——尤其是中国与德国的哲学思想——最早且最重要的学者。他改变了中国历史、文学、美学和考古学的研究，奠定了中国20世纪这些学科的走向。我们数学系的陈省身先生也是一代宗师，不过他的重要贡献是在海外完成的。我希望将来引领数学研究走向的最主要工作是在清华完成的，这要靠我们师生的努力。
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21世纪应当是中国人扬眉吐气的时代，让我们在20年代，也就是未来这十年，走出一条新的道路，引领世界。我觉得时机已经成熟，不再像以前那样只能去学习外国的学问。学习当然很重要，无论如何一定要学习，假如我们不了解海外的重要工作，就不可能走出新的道路。但我们也要有自信心能够走出自己的路，要在学习中探寻什么是最重要的方向。
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19世纪以前，数学跟其他学科不分家，物理和数学往往是在一起的；从20世纪初期到70年代，数学的发展变得相对独立；最近四十年来，数学走了跟之前不大一样的道路，数学学科跟物理、工程等产生了很大的融合，产生了颇多杰出的成果，对数学本身和其他学科都非常重要。在每一次大的转变中，数学都吸收了很多重要的思想，譬如，量子场论的发展让物理、数学物理、代数几何以及拓扑学等产生了很重要的改变，而且这种改变会不断地加深。我们就算不深入研究，也应当了解新的发展动向，至少使自己在听演讲时知道人家在讲什么。
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本科与研究生阶段是最有时间去学习的时候，要多花工夫了解和思考，同时最重要的是将基础打扎实。尽管花大量的工夫对每个学生来说都不容易，但绝不可错过最佳的学习时机。每一位从事数学工作的人都有以下类似的经历：博士毕业后到新的数学系工作，假如你是做拓扑学的，系里的同事就会认为你是拓扑学的专家，应该懂得拓扑学的所有知识，而实际上你只是写了一篇拓扑学方面的论文，懂得的其实相当有限，于是你要花精力把拓扑学钻研透，因此就少了很多时间去学其他还没学过的学科。一个人要学的东西实在太多，我亦总觉得自己懂的学问不够。而当你是学生时，不是专家，没有以上的负担，学生的首要任务本来就是学习。
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